ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caovord Structured version   GIF version

Theorem caovord 5583
Description: Convert an operation ordering law to class notation. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
caovord.1 A V
caovord.2 B V
caovord.3 (z 𝑆 → (x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)))
Assertion
Ref Expression
caovord (𝐶 𝑆 → (A𝑅B ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B)))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,𝐶,y,z   x,𝐹,y,z   x,𝑅,y,z   x,𝑆,y,z

Proof of Theorem caovord
StepHypRef Expression
1 oveq1 5431 . . . 4 (z = 𝐶 → (z𝐹A) = (𝐶𝐹A))
2 oveq1 5431 . . . 4 (z = 𝐶 → (z𝐹B) = (𝐶𝐹B))
31, 2breq12d 3740 . . 3 (z = 𝐶 → ((z𝐹A)𝑅(z𝐹B) ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B)))
43bibi2d 221 . 2 (z = 𝐶 → ((A𝑅B ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹B)) ↔ (A𝑅B ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B))))
5 caovord.1 . . 3 A V
6 caovord.2 . . 3 B V
7 breq1 3730 . . . . . 6 (x = A → (x𝑅yA𝑅y))
8 oveq2 5432 . . . . . . 7 (x = A → (z𝐹x) = (z𝐹A))
98breq1d 3737 . . . . . 6 (x = A → ((z𝐹x)𝑅(z𝐹y) ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹y)))
107, 9bibi12d 224 . . . . 5 (x = A → ((x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)) ↔ (A𝑅y ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹y))))
11 breq2 3731 . . . . . 6 (y = B → (A𝑅yA𝑅B))
12 oveq2 5432 . . . . . . 7 (y = B → (z𝐹y) = (z𝐹B))
1312breq2d 3739 . . . . . 6 (y = B → ((z𝐹A)𝑅(z𝐹y) ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹B)))
1411, 13bibi12d 224 . . . . 5 (y = B → ((A𝑅y ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹y)) ↔ (A𝑅B ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹B))))
1510, 14sylan9bb 435 . . . 4 ((x = A y = B) → ((x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)) ↔ (A𝑅B ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹B))))
1615imbi2d 219 . . 3 ((x = A y = B) → ((z 𝑆 → (x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y))) ↔ (z 𝑆 → (A𝑅B ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹B)))))
17 caovord.3 . . 3 (z 𝑆 → (x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)))
185, 6, 16, 17vtocl2 2577 . 2 (z 𝑆 → (A𝑅B ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹B)))
194, 18vtoclga 2587 1 (𝐶 𝑆 → (A𝑅B ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1223   wcel 1366  Vcvv 2526   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-rex 2281  df-v 2528  df-un 2890  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-br 3728  df-iota 4782  df-fv 4825  df-ov 5427
This theorem is referenced by:  caovord2  5584  caovord3  5585
  Copyright terms: Public domain W3C validator