Theorem reapmul1 7339

Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 7506. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapmul1	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))

Proof of Theorem reapmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 6785	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reaplt 7332	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
3	1, 2	mpan2 401	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
4	3	pm5.32i 427	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
5		simp1 903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → A ∈ ℝ)
6	5	recnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → A ∈ ℂ)
7		simp3l 931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	recnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulneg2d 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A · -𝐶) = -(A · 𝐶))
10		simp2 904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → B ∈ ℝ)
11	10	recnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → B ∈ ℂ)
12	11, 8	mulneg2d 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (B · -𝐶) = -(B · 𝐶))
13	9, 12	breq12d 3768	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((A · -𝐶) # (B · -𝐶) ↔ -(A · 𝐶) # -(B · 𝐶)))
14	7	renegcld 7134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -𝐶 ∈ ℝ)
15		simp3r 932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 < 0)
16	7	lt0neg1d 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐶 < 0 ↔ 0 < -𝐶))
17	15, 16	mpbid 135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 0 < -𝐶)
18		reapmul1lem 7338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐶)) → (A # B ↔ (A · -𝐶) # (B · -𝐶)))
19	5, 10, 14, 17, 18	syl112anc 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · -𝐶) # (B · -𝐶)))
20	5, 7	remulcld 6813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A · 𝐶) ∈ ℝ)
21	10, 7	remulcld 6813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (B · 𝐶) ∈ ℝ)
22	20, 21	ltnegd 7269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ↔ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶)))
23	21, 20	ltnegd 7269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((B · 𝐶) < (A · 𝐶) ↔ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶)))
24	22, 23	orbi12d 706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ∨ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) ∨ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶))))
25		reaplt 7332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (B · 𝐶) ∈ ℝ) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ∨ (B · 𝐶) < (A · 𝐶))))
26	20, 21, 25	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ∨ (B · 𝐶) < (A · 𝐶))))
27	20	renegcld 7134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(A · 𝐶) ∈ ℝ)
28	21	renegcld 7134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(B · 𝐶) ∈ ℝ)
29		reaplt 7332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(A · 𝐶) ∈ ℝ ∧ -(B · 𝐶) ∈ ℝ) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) ∨ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶))))
30	27, 28, 29	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) ∨ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶))))
31		orcom 646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) ∨ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶)) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) ∨ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶)))
32	30, 31	syl6bb 185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) ∨ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶))))
33	24, 26, 32	3bitr4d 209	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ -(A · 𝐶) # -(B · 𝐶)))
34	13, 19, 33	3bitr4d 209	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
35	34	3expa 1103	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
36	35	anassrs 380	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 0) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
37		reapmul1lem 7338	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
38	37	3expa 1103	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
39	38	anassrs 380	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐶) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
40	36, 39	jaodan 709	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
41	40	anasss 379	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶))) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
42	4, 41	sylan2b 271	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
43	42	3impa 1098	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6670  0cc0 6671   · cmul 6676   < clt 6817  -cneg 6940   # cap 7325

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326

This theorem is referenced by: (None)