ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reapmul1 Structured version   GIF version

Theorem reapmul1 7182
Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 7349. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
reapmul1 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))

Proof of Theorem reapmul1
StepHypRef Expression
1 0re 6628 . . . . 5 0
2 reaplt 7175 . . . . 5 ((𝐶 0 ℝ) → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 0 < 𝐶)))
31, 2mpan2 401 . . . 4 (𝐶 ℝ → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 0 < 𝐶)))
43pm5.32i 427 . . 3 ((𝐶 𝐶 # 0) ↔ (𝐶 (𝐶 < 0 0 < 𝐶)))
5 simp1 886 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → A ℝ)
65recnd 6654 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → A ℂ)
7 simp3l 914 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → 𝐶 ℝ)
87recnd 6654 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → 𝐶 ℂ)
96, 8mulneg2d 7008 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (A · -𝐶) = -(A · 𝐶))
10 simp2 887 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → B ℝ)
1110recnd 6654 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → B ℂ)
1211, 8mulneg2d 7008 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (B · -𝐶) = -(B · 𝐶))
139, 12breq12d 3740 . . . . . . . 8 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((A · -𝐶) # (B · -𝐶) ↔ -(A · 𝐶) # -(B · 𝐶)))
147renegcld 6977 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → -𝐶 ℝ)
15 simp3r 915 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → 𝐶 < 0)
167lt0neg1d 7105 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (𝐶 < 0 ↔ 0 < -𝐶))
1715, 16mpbid 135 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → 0 < -𝐶)
18 reapmul1lem 7181 . . . . . . . . 9 ((A B (-𝐶 0 < -𝐶)) → (A # B ↔ (A · -𝐶) # (B · -𝐶)))
195, 10, 14, 17, 18syl112anc 1120 . . . . . . . 8 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · -𝐶) # (B · -𝐶)))
205, 7remulcld 6656 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (A · 𝐶) ℝ)
2110, 7remulcld 6656 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (B · 𝐶) ℝ)
2220, 21ltnegd 7112 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ↔ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶)))
2321, 20ltnegd 7112 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((B · 𝐶) < (A · 𝐶) ↔ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶)))
2422, 23orbi12d 691 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (((A · 𝐶) < (B · 𝐶) (B · 𝐶) < (A · 𝐶)) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶))))
25 reaplt 7175 . . . . . . . . . 10 (((A · 𝐶) (B · 𝐶) ℝ) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) (B · 𝐶) < (A · 𝐶))))
2620, 21, 25syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) (B · 𝐶) < (A · 𝐶))))
2720renegcld 6977 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → -(A · 𝐶) ℝ)
2821renegcld 6977 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → -(B · 𝐶) ℝ)
29 reaplt 7175 . . . . . . . . . . 11 ((-(A · 𝐶) -(B · 𝐶) ℝ) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶))))
3027, 28, 29syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶))))
31 orcom 631 . . . . . . . . . 10 ((-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶)) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶)))
3230, 31syl6bb 185 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶))))
3324, 26, 323bitr4d 209 . . . . . . . 8 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ -(A · 𝐶) # -(B · 𝐶)))
3413, 19, 333bitr4d 209 . . . . . . 7 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
35343expa 1085 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
3635anassrs 380 . . . . 5 ((((A B ℝ) 𝐶 ℝ) 𝐶 < 0) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
37 reapmul1lem 7181 . . . . . . 7 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
38373expa 1085 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
3938anassrs 380 . . . . 5 ((((A B ℝ) 𝐶 ℝ) 0 < 𝐶) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
4036, 39jaodan 694 . . . 4 ((((A B ℝ) 𝐶 ℝ) (𝐶 < 0 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
4140anasss 379 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 (𝐶 < 0 0 < 𝐶))) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
424, 41sylan2b 271 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
43423impa 1080 1 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 613   w3a 867   wcel 1366   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  cr 6519  0cc0 6520   · cmul 6525   < clt 6660  -cneg 6783   # cap 7168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226  ax-cnex 6578  ax-resscn 6579  ax-1cn 6580  ax-1re 6581  ax-icn 6582  ax-addcl 6583  ax-addrcl 6584  ax-mulcl 6585  ax-mulrcl 6586  ax-addcom 6587  ax-mulcom 6588  ax-addass 6589  ax-mulass 6590  ax-distr 6591  ax-i2m1 6592  ax-1rid 6594  ax-0id 6595  ax-rnegex 6596  ax-precex 6597  ax-cnre 6598  ax-pre-ltirr 6599  ax-pre-lttrn 6601  ax-pre-apti 6602  ax-pre-ltadd 6603  ax-pre-mulgt0 6604
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-nel 2180  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-riota 5381  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-ltr 6468  df-0r 6469  df-1r 6470  df-0 6527  df-1 6528  df-r 6530  df-lt 6533  df-pnf 6662  df-mnf 6663  df-ltxr 6665  df-sub 6784  df-neg 6785  df-reap 7162  df-ap 7169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator