Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reapmul1 GIF version

Theorem reapmul1 7586
 Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 7764. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
reapmul1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem reapmul1
StepHypRef Expression
1 0re 7027 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 reaplt 7579 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
31, 2mpan2 401 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
43pm5.32i 427 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
5 simp1 904 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65recnd 7054 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 simp3l 932 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
87recnd 7054 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
96, 8mulneg2d 7409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · -𝐶) = -(𝐴 · 𝐶))
10 simp2 905 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1110recnd 7054 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1211, 8mulneg2d 7409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · -𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
139, 12breq12d 3777 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
147renegcld 7378 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -𝐶 ∈ ℝ)
15 simp3r 933 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 < 0)
167lt0neg1d 7507 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐶 < 0 ↔ 0 < -𝐶))
1715, 16mpbid 135 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 0 < -𝐶)
18 reapmul1lem 7585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
195, 10, 14, 17, 18syl112anc 1139 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) # (𝐵 · -𝐶)))
205, 7remulcld 7056 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
2110, 7remulcld 7056 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
2220, 21ltnegd 7514 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)))
2321, 20ltnegd 7514 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
2422, 23orbi12d 707 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
25 reaplt 7579 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
2620, 21, 25syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ∨ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶))))
2720renegcld 7378 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
2821renegcld 7378 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
29 reaplt 7579 . . . . . . . . . . 11 ((-(𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ -(𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
3027, 28, 29syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶))))
31 orcom 647 . . . . . . . . . 10 ((-(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶) ∨ -(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶)) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶)))
3230, 31syl6bb 185 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶) ↔ (-(𝐵 · 𝐶) < -(𝐴 · 𝐶) ∨ -(𝐴 · 𝐶) < -(𝐵 · 𝐶))))
3324, 26, 323bitr4d 209 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶) ↔ -(𝐴 · 𝐶) # -(𝐵 · 𝐶)))
3413, 19, 333bitr4d 209 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
35343expa 1104 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
3635anassrs 380 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 0) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
37 reapmul1lem 7585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
38373expa 1104 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
3938anassrs 380 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
4036, 39jaodan 710 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
4140anasss 379 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
424, 41sylan2b 271 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
43423impa 1099 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) # (𝐵 · 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889   · cmul 6894   < clt 7060  -cneg 7183   # cap 7572 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-ltxr 7065  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator