Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reapmul1 Structured version   GIF version

Theorem reapmul1 7359
 Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 7526. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
reapmul1 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))

Proof of Theorem reapmul1
StepHypRef Expression
1 0re 6805 . . . . 5 0
2 reaplt 7352 . . . . 5 ((𝐶 0 ℝ) → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 0 < 𝐶)))
31, 2mpan2 401 . . . 4 (𝐶 ℝ → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 0 < 𝐶)))
43pm5.32i 427 . . 3 ((𝐶 𝐶 # 0) ↔ (𝐶 (𝐶 < 0 0 < 𝐶)))
5 simp1 903 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → A ℝ)
65recnd 6831 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → A ℂ)
7 simp3l 931 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → 𝐶 ℝ)
87recnd 6831 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → 𝐶 ℂ)
96, 8mulneg2d 7185 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (A · -𝐶) = -(A · 𝐶))
10 simp2 904 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → B ℝ)
1110recnd 6831 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → B ℂ)
1211, 8mulneg2d 7185 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (B · -𝐶) = -(B · 𝐶))
139, 12breq12d 3768 . . . . . . . 8 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((A · -𝐶) # (B · -𝐶) ↔ -(A · 𝐶) # -(B · 𝐶)))
147renegcld 7154 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → -𝐶 ℝ)
15 simp3r 932 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → 𝐶 < 0)
167lt0neg1d 7282 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (𝐶 < 0 ↔ 0 < -𝐶))
1715, 16mpbid 135 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → 0 < -𝐶)
18 reapmul1lem 7358 . . . . . . . . 9 ((A B (-𝐶 0 < -𝐶)) → (A # B ↔ (A · -𝐶) # (B · -𝐶)))
195, 10, 14, 17, 18syl112anc 1138 . . . . . . . 8 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · -𝐶) # (B · -𝐶)))
205, 7remulcld 6833 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (A · 𝐶) ℝ)
2110, 7remulcld 6833 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (B · 𝐶) ℝ)
2220, 21ltnegd 7289 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ↔ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶)))
2321, 20ltnegd 7289 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((B · 𝐶) < (A · 𝐶) ↔ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶)))
2422, 23orbi12d 706 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (((A · 𝐶) < (B · 𝐶) (B · 𝐶) < (A · 𝐶)) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶))))
25 reaplt 7352 . . . . . . . . . 10 (((A · 𝐶) (B · 𝐶) ℝ) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) (B · 𝐶) < (A · 𝐶))))
2620, 21, 25syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) (B · 𝐶) < (A · 𝐶))))
2720renegcld 7154 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → -(A · 𝐶) ℝ)
2821renegcld 7154 . . . . . . . . . . 11 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → -(B · 𝐶) ℝ)
29 reaplt 7352 . . . . . . . . . . 11 ((-(A · 𝐶) -(B · 𝐶) ℝ) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶))))
3027, 28, 29syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶))))
31 orcom 646 . . . . . . . . . 10 ((-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶)) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶)))
3230, 31syl6bb 185 . . . . . . . . 9 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶))))
3324, 26, 323bitr4d 209 . . . . . . . 8 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ -(A · 𝐶) # -(B · 𝐶)))
3413, 19, 333bitr4d 209 . . . . . . 7 ((A B (𝐶 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
35343expa 1103 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
3635anassrs 380 . . . . 5 ((((A B ℝ) 𝐶 ℝ) 𝐶 < 0) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
37 reapmul1lem 7358 . . . . . . 7 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
38373expa 1103 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
3938anassrs 380 . . . . 5 ((((A B ℝ) 𝐶 ℝ) 0 < 𝐶) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
4036, 39jaodan 709 . . . 4 ((((A B ℝ) 𝐶 ℝ) (𝐶 < 0 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
4140anasss 379 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 (𝐶 < 0 0 < 𝐶))) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
424, 41sylan2b 271 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
43423impa 1098 1 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6690  0cc0 6691   · cmul 6696   < clt 6837  -cneg 6960   # cap 7345 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-ltxr 6842  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator