Theorem reapmul1 7182

Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 7349. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reapmul1	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))

Proof of Theorem reapmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 6628	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reaplt 7175	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
3	1, 2	mpan2 401	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 # 0 ↔ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
4	3	pm5.32i 427	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)))
5		simp1 886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → A ∈ ℝ)
6	5	recnd 6654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → A ∈ ℂ)
7		simp3l 914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	recnd 6654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulneg2d 7008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A · -𝐶) = -(A · 𝐶))
10		simp2 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → B ∈ ℝ)
11	10	recnd 6654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → B ∈ ℂ)
12	11, 8	mulneg2d 7008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (B · -𝐶) = -(B · 𝐶))
13	9, 12	breq12d 3740	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((A · -𝐶) # (B · -𝐶) ↔ -(A · 𝐶) # -(B · 𝐶)))
14	7	renegcld 6977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -𝐶 ∈ ℝ)
15		simp3r 915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 𝐶 < 0)
16	7	lt0neg1d 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (𝐶 < 0 ↔ 0 < -𝐶))
17	15, 16	mpbid 135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → 0 < -𝐶)
18		reapmul1lem 7181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐶)) → (A # B ↔ (A · -𝐶) # (B · -𝐶)))
19	5, 10, 14, 17, 18	syl112anc 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · -𝐶) # (B · -𝐶)))
20	5, 7	remulcld 6656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A · 𝐶) ∈ ℝ)
21	10, 7	remulcld 6656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (B · 𝐶) ∈ ℝ)
22	20, 21	ltnegd 7112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ↔ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶)))
23	21, 20	ltnegd 7112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((B · 𝐶) < (A · 𝐶) ↔ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶)))
24	22, 23	orbi12d 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ∨ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) ∨ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶))))
25		reaplt 7175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (B · 𝐶) ∈ ℝ) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ∨ (B · 𝐶) < (A · 𝐶))))
26	20, 21, 25	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ∨ (B · 𝐶) < (A · 𝐶))))
27	20	renegcld 6977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(A · 𝐶) ∈ ℝ)
28	21	renegcld 6977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → -(B · 𝐶) ∈ ℝ)
29		reaplt 7175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(A · 𝐶) ∈ ℝ ∧ -(B · 𝐶) ∈ ℝ) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) ∨ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶))))
30	27, 28, 29	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) ∨ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶))))
31		orcom 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(A · 𝐶) < -(B · 𝐶) ∨ -(B · 𝐶) < -(A · 𝐶)) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) ∨ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶)))
32	30, 31	syl6bb 185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (-(A · 𝐶) # -(B · 𝐶) ↔ (-(B · 𝐶) < -(A · 𝐶) ∨ -(A · 𝐶) < -(B · 𝐶))))
33	24, 26, 32	3bitr4d 209	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ -(A · 𝐶) # -(B · 𝐶)))
34	13, 19, 33	3bitr4d 209	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
35	34	3expa 1085	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
36	35	anassrs 380	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 0) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
37		reapmul1lem 7181	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
38	37	3expa 1085	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
39	38	anassrs 380	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐶) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
40	36, 39	jaodan 694	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
41	40	anasss 379	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 < 0 ∨ 0 < 𝐶))) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
42	4, 41	sylan2b 271	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
43	42	3impa 1080	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 613   ∧ w3a 867   ∈ wcel 1366   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  ℝcr 6519  0cc0 6520   · cmul 6525   < clt 6660  -cneg 6783   # cap 7168

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226  ax-cnex 6578  ax-resscn 6579  ax-1cn 6580  ax-1re 6581  ax-icn 6582  ax-addcl 6583  ax-addrcl 6584  ax-mulcl 6585  ax-mulrcl 6586  ax-addcom 6587  ax-mulcom 6588  ax-addass 6589  ax-mulass 6590  ax-distr 6591  ax-i2m1 6592  ax-1rid 6594  ax-0id 6595  ax-rnegex 6596  ax-precex 6597  ax-cnre 6598  ax-pre-ltirr 6599  ax-pre-lttrn 6601  ax-pre-apti 6602  ax-pre-ltadd 6603  ax-pre-mulgt0 6604

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-nel 2180  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-riota 5381  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-ltr 6468  df-0r 6469  df-1r 6470  df-0 6527  df-1 6528  df-r 6530  df-lt 6533  df-pnf 6662  df-mnf 6663  df-ltxr 6665  df-sub 6784  df-neg 6785  df-reap 7162  df-ap 7169

This theorem is referenced by: (None)