Theorem lttrsr 6650

Description: Signed real 'less than' is a transitive relation. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lttrsr	⊢ ((f ∈ R ∧ g ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ))

Distinct variable group:   f,g,ℎ

Proof of Theorem lttrsr

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6615	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		breq1 3758	. . . 4 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ f <R [⟨z, w⟩] ~R ))
3	2	anbi1d 438	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ (f <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R )))
4		breq1 3758	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ f <R [⟨v, u⟩] ~R ))
5	3, 4	imbi12d 223	. 2 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → ((([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((f <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R )))
6		breq2 3759	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = g → (f <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ f <R g))
7		breq1 3758	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = g → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ g <R [⟨v, u⟩] ~R ))
8	6, 7	anbi12d 442	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = g → ((f <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ (f <R g ∧ g <R [⟨v, u⟩] ~R )))
9	8	imbi1d 220	. 2 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = g → (((f <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((f <R g ∧ g <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R )))
10		breq2 3759	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~R = ℎ → (g <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ g <R ℎ))
11	10	anbi2d 437	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~R = ℎ → ((f <R g ∧ g <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ (f <R g ∧ g <R ℎ)))
12		breq2 3759	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~R = ℎ → (f <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ f <R ℎ))
13	11, 12	imbi12d 223	. 2 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~R = ℎ → (((f <R g ∧ g <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ)))
14		ltsrprg 6635	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
15	14	3adant3 923	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
16		ltaprg 6590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
17	16	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) ∧ (𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P)) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
18		simp1l 927	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → x ∈ P)
19		simp2r 930	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → w ∈ P)
20		addclpr 6520	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ w ∈ P) → (x +P w) ∈ P)
21	18, 19, 20	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x +P w) ∈ P)
22		simp1r 928	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → y ∈ P)
23		simp2l 929	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → z ∈ P)
24		addclpr 6520	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (y +P z) ∈ P)
25	22, 23, 24	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y +P z) ∈ P)
26		simp3r 932	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → u ∈ P)
27		addcomprg 6552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
28	27	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) ∧ (𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
29	17, 21, 25, 26, 28	caovord2d 5612	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ ((x +P w) +P u)<P ((y +P z) +P u)))
30		addassprg 6553	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ w ∈ P ∧ u ∈ P) → ((x +P w) +P u) = (x +P (w +P u)))
31	18, 19, 26, 30	syl3anc 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P w) +P u) = (x +P (w +P u)))
32		addassprg 6553	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P ∧ u ∈ P) → ((y +P z) +P u) = (y +P (z +P u)))
33	22, 23, 26, 32	syl3anc 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((y +P z) +P u) = (y +P (z +P u)))
34	31, 33	breq12d 3768	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (((x +P w) +P u)<P ((y +P z) +P u) ↔ (x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u))))
35	29, 34	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ (x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u))))
36	15, 35	bitrd 177	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u))))
37		ltsrprg 6635	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (z +P u)<P (w +P v)))
38	37	3adant1 921	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (z +P u)<P (w +P v)))
39		addclpr 6520	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ P ∧ u ∈ P) → (z +P u) ∈ P)
40	23, 26, 39	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (z +P u) ∈ P)
41		simp3l 931	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → v ∈ P)
42		addclpr 6520	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ P ∧ v ∈ P) → (w +P v) ∈ P)
43	19, 41, 42	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (w +P v) ∈ P)
44		ltaprg 6590	. . . . . 6 ⊢ (((z +P u) ∈ P ∧ (w +P v) ∈ P ∧ y ∈ P) → ((z +P u)<P (w +P v) ↔ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))))
45	40, 43, 22, 44	syl3anc 1134	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((z +P u)<P (w +P v) ↔ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))))
46	38, 45	bitrd 177	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))))
47	36, 46	anbi12d 442	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u)) ∧ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v)))))
48		ltsopr 6568	. . . . 5 ⊢ <P Or P
49		ltrelpr 6487	. . . . 5 ⊢ <P ⊆ (P × P)
50	48, 49	sotri 4663	. . . 4 ⊢ (((x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u)) ∧ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))) → (x +P (w +P u))<P (y +P (w +P v)))
51		addclpr 6520	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ u ∈ P) → (x +P u) ∈ P)
52	18, 26, 51	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x +P u) ∈ P)
53		addclpr 6520	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ∧ v ∈ P) → (y +P v) ∈ P)
54	22, 41, 53	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y +P v) ∈ P)
55		ltaprg 6590	. . . . . . 7 ⊢ (((x +P u) ∈ P ∧ (y +P v) ∈ P ∧ w ∈ P) → ((x +P u)<P (y +P v) ↔ (w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v))))
56	52, 54, 19, 55	syl3anc 1134	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P u)<P (y +P v) ↔ (w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v))))
57	56	biimprd 147	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v)) → (x +P u)<P (y +P v)))
58		addassprg 6553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
59	58	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) ∧ (𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
60	18, 19, 26, 28, 59	caov12d 5624	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x +P (w +P u)) = (w +P (x +P u)))
61	22, 19, 41, 28, 59	caov12d 5624	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y +P (w +P v)) = (w +P (y +P v)))
62	60, 61	breq12d 3768	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P (w +P u))<P (y +P (w +P v)) ↔ (w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v))))
63		ltsrprg 6635	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (x +P u)<P (y +P v)))
64	63	3adant2 922	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (x +P u)<P (y +P v)))
65	57, 62, 64	3imtr4d 192	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P (w +P u))<P (y +P (w +P v)) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ))
66	50, 65	syl5 28	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (((x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u)) ∧ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ))
67	47, 66	sylbid 139	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ))
68	1, 5, 9, 13, 67	3ecoptocl 6131	1 ⊢ ((f ∈ R ∧ g ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Pcnp 6275   +_P cpp 6277  <_P cltp 6279   ~_R cer 6280  Rcnr 6281   <_R cltr 6287

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618

This theorem is referenced by:  ltposr  6651