Theorem lttrsr 6503

Description: Signed real 'less than' is a transitive relation. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lttrsr	⊢ ((f ∈ R ∧ g ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ))

Distinct variable group:   f,g,ℎ

Proof of Theorem lttrsr

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6468	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		breq1 3733	. . . 4 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ f <R [⟨z, w⟩] ~R ))
3	2	anbi1d 438	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ (f <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R )))
4		breq1 3733	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ f <R [⟨v, u⟩] ~R ))
5	3, 4	imbi12d 223	. 2 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → ((([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((f <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R )))
6		breq2 3734	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = g → (f <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ f <R g))
7		breq1 3733	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = g → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ g <R [⟨v, u⟩] ~R ))
8	6, 7	anbi12d 442	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = g → ((f <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ (f <R g ∧ g <R [⟨v, u⟩] ~R )))
9	8	imbi1d 220	. 2 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = g → (((f <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((f <R g ∧ g <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R )))
10		breq2 3734	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~R = ℎ → (g <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ g <R ℎ))
11	10	anbi2d 437	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~R = ℎ → ((f <R g ∧ g <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ (f <R g ∧ g <R ℎ)))
12		breq2 3734	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~R = ℎ → (f <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ f <R ℎ))
13	11, 12	imbi12d 223	. 2 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~R = ℎ → (((f <R g ∧ g <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ)))
14		ltsrprg 6488	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
15	14	3adant3 908	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
16		ltaprg 6444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
17	16	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) ∧ (𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P)) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
18		simp1l 912	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → x ∈ P)
19		simp2r 915	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → w ∈ P)
20		addclpr 6381	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ w ∈ P) → (x +P w) ∈ P)
21	18, 19, 20	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x +P w) ∈ P)
22		simp1r 913	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → y ∈ P)
23		simp2l 914	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → z ∈ P)
24		addclpr 6381	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (y +P z) ∈ P)
25	22, 23, 24	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y +P z) ∈ P)
26		simp3r 917	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → u ∈ P)
27		addcomprg 6406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
28	27	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) ∧ (𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
29	17, 21, 25, 26, 28	caovord2d 5584	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ ((x +P w) +P u)<P ((y +P z) +P u)))
30		addassprg 6407	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ w ∈ P ∧ u ∈ P) → ((x +P w) +P u) = (x +P (w +P u)))
31	18, 19, 26, 30	syl3anc 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P w) +P u) = (x +P (w +P u)))
32		addassprg 6407	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P ∧ u ∈ P) → ((y +P z) +P u) = (y +P (z +P u)))
33	22, 23, 26, 32	syl3anc 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((y +P z) +P u) = (y +P (z +P u)))
34	31, 33	breq12d 3743	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (((x +P w) +P u)<P ((y +P z) +P u) ↔ (x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u))))
35	29, 34	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ (x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u))))
36	15, 35	bitrd 177	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u))))
37		ltsrprg 6488	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (z +P u)<P (w +P v)))
38	37	3adant1 906	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (z +P u)<P (w +P v)))
39		addclpr 6381	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ P ∧ u ∈ P) → (z +P u) ∈ P)
40	23, 26, 39	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (z +P u) ∈ P)
41		simp3l 916	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → v ∈ P)
42		addclpr 6381	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ P ∧ v ∈ P) → (w +P v) ∈ P)
43	19, 41, 42	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (w +P v) ∈ P)
44		ltaprg 6444	. . . . . 6 ⊢ (((z +P u) ∈ P ∧ (w +P v) ∈ P ∧ y ∈ P) → ((z +P u)<P (w +P v) ↔ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))))
45	40, 43, 22, 44	syl3anc 1118	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((z +P u)<P (w +P v) ↔ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))))
46	38, 45	bitrd 177	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))))
47	36, 46	anbi12d 442	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u)) ∧ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v)))))
48		ltsopr 6422	. . . . 5 ⊢ <P Or P
49		ltrelpr 6348	. . . . 5 ⊢ <P ⊆ (P × P)
50	48, 49	sotri 4638	. . . 4 ⊢ (((x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u)) ∧ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))) → (x +P (w +P u))<P (y +P (w +P v)))
51		addclpr 6381	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ u ∈ P) → (x +P u) ∈ P)
52	18, 26, 51	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x +P u) ∈ P)
53		addclpr 6381	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ∧ v ∈ P) → (y +P v) ∈ P)
54	22, 41, 53	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y +P v) ∈ P)
55		ltaprg 6444	. . . . . . 7 ⊢ (((x +P u) ∈ P ∧ (y +P v) ∈ P ∧ w ∈ P) → ((x +P u)<P (y +P v) ↔ (w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v))))
56	52, 54, 19, 55	syl3anc 1118	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P u)<P (y +P v) ↔ (w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v))))
57	56	biimprd 147	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v)) → (x +P u)<P (y +P v)))
58		addassprg 6407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
59	58	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) ∧ (𝑟 ∈ P ∧ 𝑠 ∈ P ∧ 𝑡 ∈ P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
60	18, 19, 26, 28, 59	caov12d 5596	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x +P (w +P u)) = (w +P (x +P u)))
61	22, 19, 41, 28, 59	caov12d 5596	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y +P (w +P v)) = (w +P (y +P v)))
62	60, 61	breq12d 3743	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P (w +P u))<P (y +P (w +P v)) ↔ (w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v))))
63		ltsrprg 6488	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (x +P u)<P (y +P v)))
64	63	3adant2 907	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (x +P u)<P (y +P v)))
65	57, 62, 64	3imtr4d 192	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P (w +P u))<P (y +P (w +P v)) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ))
66	50, 65	syl5 28	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (((x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u)) ∧ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ))
67	47, 66	sylbid 139	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ∧ [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ))
68	1, 5, 9, 13, 67	3ecoptocl 6097	1 ⊢ ((f ∈ R ∧ g ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 869   = wceq 1226   ∈ wcel 1369  ⟨cop 3345   class class class wbr 3730  (class class class)co 5427  [cec 6006  Pcnp 6140   +_P cpp 6142  <_P cltp 6144   ~_R cer 6145  Rcnr 6146   <_R cltr 6152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1358  ax-ie2 1359  ax-8 1371  ax-10 1372  ax-11 1373  ax-i12 1374  ax-bnd 1375  ax-4 1376  ax-13 1380  ax-14 1381  ax-17 1395  ax-i9 1399  ax-ial 1403  ax-i5r 1404  ax-ext 1998  ax-coll 3838  ax-sep 3841  ax-nul 3849  ax-pow 3893  ax-pr 3910  ax-un 4111  ax-setind 4195  ax-iinf 4229

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 870  df-3an 871  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1622  df-eu 1879  df-mo 1880  df-clab 2003  df-cleq 2009  df-clel 2012  df-nfc 2143  df-ne 2182  df-ral 2283  df-rex 2284  df-reu 2285  df-rab 2287  df-v 2531  df-sbc 2736  df-csb 2824  df-dif 2891  df-un 2893  df-in 2895  df-ss 2902  df-nul 3196  df-pw 3328  df-sn 3348  df-pr 3349  df-op 3351  df-uni 3547  df-int 3582  df-iun 3625  df-br 3731  df-opab 3785  df-mpt 3786  df-tr 3821  df-eprel 3992  df-id 3996  df-po 3999  df-iso 4000  df-iord 4044  df-on 4046  df-suc 4049  df-iom 4232  df-xp 4269  df-rel 4270  df-cnv 4271  df-co 4272  df-dm 4273  df-rn 4274  df-res 4275  df-ima 4276  df-iota 4785  df-fun 4822  df-fn 4823  df-f 4824  df-f1 4825  df-fo 4826  df-f1o 4827  df-fv 4828  df-ov 5430  df-oprab 5431  df-mpt2 5432  df-1st 5681  df-2nd 5682  df-recs 5833  df-irdg 5869  df-1o 5907  df-2o 5908  df-oadd 5911  df-omul 5912  df-er 6008  df-ec 6010  df-qs 6014  df-ni 6153  df-pli 6154  df-mi 6155  df-lti 6156  df-plpq 6192  df-mpq 6193  df-enq 6195  df-nqqs 6196  df-plqqs 6197  df-mqqs 6198  df-1nqqs 6199  df-rq 6200  df-ltnqqs 6201  df-enq0 6268  df-nq0 6269  df-0nq0 6270  df-plq0 6271  df-mq0 6272  df-inp 6309  df-iplp 6311  df-iltp 6313  df-enr 6467  df-nr 6468  df-ltr 6471

This theorem is referenced by:  ltposr  6504