ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttrsr Structured version   GIF version

Theorem lttrsr 6650
Description: Signed real 'less than' is a transitive relation. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
lttrsr ((f R g R R) → ((f <R g g <R ) → f <R ))
Distinct variable group:   f,g,

Proof of Theorem lttrsr
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6615 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 breq1 3758 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = f → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~Rf <R [⟨z, w⟩] ~R ))
32anbi1d 438 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = f → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ (f <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R )))
4 breq1 3758 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = f → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~Rf <R [⟨v, u⟩] ~R ))
53, 4imbi12d 223 . 2 ([⟨x, y⟩] ~R = f → ((([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((f <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R )))
6 breq2 3759 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = g → (f <R [⟨z, w⟩] ~Rf <R g))
7 breq1 3758 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = g → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~Rg <R [⟨v, u⟩] ~R ))
86, 7anbi12d 442 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = g → ((f <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ (f <R g g <R [⟨v, u⟩] ~R )))
98imbi1d 220 . 2 ([⟨z, w⟩] ~R = g → (((f <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((f <R g g <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R )))
10 breq2 3759 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~R = → (g <R [⟨v, u⟩] ~Rg <R ))
1110anbi2d 437 . . 3 ([⟨v, u⟩] ~R = → ((f <R g g <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ (f <R g g <R )))
12 breq2 3759 . . 3 ([⟨v, u⟩] ~R = → (f <R [⟨v, u⟩] ~Rf <R ))
1311, 12imbi12d 223 . 2 ([⟨v, u⟩] ~R = → (((f <R g g <R [⟨v, u⟩] ~R ) → f <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((f <R g g <R ) → f <R )))
14 ltsrprg 6635 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
15143adant3 923 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
16 ltaprg 6590 . . . . . . . 8 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
1716adantl 262 . . . . . . 7 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → (𝑟<P 𝑠 ↔ (𝑡 +P 𝑟)<P (𝑡 +P 𝑠)))
18 simp1l 927 . . . . . . . 8 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → x P)
19 simp2r 930 . . . . . . . 8 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → w P)
20 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((x P w P) → (x +P w) P)
2118, 19, 20syl2anc 391 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x +P w) P)
22 simp1r 928 . . . . . . . 8 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → y P)
23 simp2l 929 . . . . . . . 8 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → z P)
24 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((y P z P) → (y +P z) P)
2522, 23, 24syl2anc 391 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y +P z) P)
26 simp3r 932 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → u P)
27 addcomprg 6552 . . . . . . . 8 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
2827adantl 262 . . . . . . 7 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
2917, 21, 25, 26, 28caovord2d 5612 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ ((x +P w) +P u)<P ((y +P z) +P u)))
30 addassprg 6553 . . . . . . . 8 ((x P w P u P) → ((x +P w) +P u) = (x +P (w +P u)))
3118, 19, 26, 30syl3anc 1134 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x +P w) +P u) = (x +P (w +P u)))
32 addassprg 6553 . . . . . . . 8 ((y P z P u P) → ((y +P z) +P u) = (y +P (z +P u)))
3322, 23, 26, 32syl3anc 1134 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((y +P z) +P u) = (y +P (z +P u)))
3431, 33breq12d 3768 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (((x +P w) +P u)<P ((y +P z) +P u) ↔ (x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u))))
3529, 34bitrd 177 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ (x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u))))
3615, 35bitrd 177 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u))))
37 ltsrprg 6635 . . . . . 6 (((z P w P) (v P u P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (z +P u)<P (w +P v)))
38373adant1 921 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (z +P u)<P (w +P v)))
39 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((z P u P) → (z +P u) P)
4023, 26, 39syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (z +P u) P)
41 simp3l 931 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → v P)
42 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((w P v P) → (w +P v) P)
4319, 41, 42syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (w +P v) P)
44 ltaprg 6590 . . . . . 6 (((z +P u) P (w +P v) P y P) → ((z +P u)<P (w +P v) ↔ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))))
4540, 43, 22, 44syl3anc 1134 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((z +P u)<P (w +P v) ↔ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))))
4638, 45bitrd 177 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))))
4736, 46anbi12d 442 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) ↔ ((x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u)) (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v)))))
48 ltsopr 6568 . . . . 5 <P Or P
49 ltrelpr 6487 . . . . 5 <P ⊆ (P × P)
5048, 49sotri 4663 . . . 4 (((x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u)) (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))) → (x +P (w +P u))<P (y +P (w +P v)))
51 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((x P u P) → (x +P u) P)
5218, 26, 51syl2anc 391 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x +P u) P)
53 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((y P v P) → (y +P v) P)
5422, 41, 53syl2anc 391 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y +P v) P)
55 ltaprg 6590 . . . . . . 7 (((x +P u) P (y +P v) P w P) → ((x +P u)<P (y +P v) ↔ (w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v))))
5652, 54, 19, 55syl3anc 1134 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x +P u)<P (y +P v) ↔ (w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v))))
5756biimprd 147 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v)) → (x +P u)<P (y +P v)))
58 addassprg 6553 . . . . . . . 8 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
5958adantl 262 . . . . . . 7 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
6018, 19, 26, 28, 59caov12d 5624 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x +P (w +P u)) = (w +P (x +P u)))
6122, 19, 41, 28, 59caov12d 5624 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y +P (w +P v)) = (w +P (y +P v)))
6260, 61breq12d 3768 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x +P (w +P u))<P (y +P (w +P v)) ↔ (w +P (x +P u))<P (w +P (y +P v))))
63 ltsrprg 6635 . . . . . 6 (((x P y P) (v P u P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (x +P u)<P (y +P v)))
64633adant2 922 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ↔ (x +P u)<P (y +P v)))
6557, 62, 643imtr4d 192 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x +P (w +P u))<P (y +P (w +P v)) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ))
6650, 65syl5 28 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (((x +P (w +P u))<P (y +P (z +P u)) (y +P (z +P u))<P (y +P (w +P v))) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ))
6747, 66sylbid 139 . 2 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ) → [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨v, u⟩] ~R ))
681, 5, 9, 13, 673ecoptocl 6131 1 ((f R g R R) → ((f <R g g <R ) → f <R ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Pcnp 6275   +P cpp 6277  <P cltp 6279   ~R cer 6280  Rcnr 6281   <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618
This theorem is referenced by:  ltposr  6651
  Copyright terms: Public domain W3C validator