ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isotr Structured version   GIF version

Theorem isotr 5399
Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (B, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (A, 𝐶))

Proof of Theorem isotr
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . 4 ((𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w))) → 𝐺:B1-1-onto𝐶)
2 simpl 102 . . . 4 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → 𝐻:A1-1-ontoB)
3 f1oco 5092 . . . 4 ((𝐺:B1-1-onto𝐶 𝐻:A1-1-ontoB) → (𝐺𝐻):A1-1-onto𝐶)
41, 2, 3syl2anr 274 . . 3 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → (𝐺𝐻):A1-1-onto𝐶)
5 f1of 5069 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:AB)
65ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → 𝐻:AB)
7 simprl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → x A)
86, 7ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → (𝐻x) B)
9 simprr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → y A)
106, 9ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → (𝐻y) B)
11 simplrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))
12 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12 (z = (𝐻x) → (z𝑆w ↔ (𝐻x)𝑆w))
13 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . 13 (z = (𝐻x) → (𝐺z) = (𝐺‘(𝐻x)))
1413breq1d 3765 . . . . . . . . . . . 12 (z = (𝐻x) → ((𝐺z)𝑇(𝐺w) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺w)))
1512, 14bibi12d 224 . . . . . . . . . . 11 (z = (𝐻x) → ((z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)) ↔ ((𝐻x)𝑆w ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺w))))
16 breq2 3759 . . . . . . . . . . . 12 (w = (𝐻y) → ((𝐻x)𝑆w ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)))
17 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . 13 (w = (𝐻y) → (𝐺w) = (𝐺‘(𝐻y)))
1817breq2d 3767 . . . . . . . . . . . 12 (w = (𝐻y) → ((𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺w) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y))))
1916, 18bibi12d 224 . . . . . . . . . . 11 (w = (𝐻y) → (((𝐻x)𝑆w ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺w)) ↔ ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y)))))
2015, 19rspc2va 2657 . . . . . . . . . 10 ((((𝐻x) B (𝐻y) B) z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w))) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y))))
218, 10, 11, 20syl21anc 1133 . . . . . . . . 9 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y))))
22 fvco3 5187 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:AB x A) → ((𝐺𝐻)‘x) = (𝐺‘(𝐻x)))
236, 7, 22syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((𝐺𝐻)‘x) = (𝐺‘(𝐻x)))
24 fvco3 5187 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:AB y A) → ((𝐺𝐻)‘y) = (𝐺‘(𝐻y)))
256, 9, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((𝐺𝐻)‘y) = (𝐺‘(𝐻y)))
2623, 25breq12d 3768 . . . . . . . . 9 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → (((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y))))
2721, 26bitr4d 180 . . . . . . . 8 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y)))
2827bibi2d 221 . . . . . . 7 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
29282ralbidva 2340 . . . . . 6 ((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → (x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
3029biimpd 132 . . . . 5 ((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → (x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) → x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
3130impancom 247 . . . 4 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → ((𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w))) → x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
3231imp 115 . . 3 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y)))
334, 32jca 290 . 2 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → ((𝐺𝐻):A1-1-onto𝐶 x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
34 df-isom 4854 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))))
35 df-isom 4854 . . 3 (𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (B, 𝐶) ↔ (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w))))
3634, 35anbi12i 433 . 2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (B, 𝐶)) ↔ ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))))
37 df-isom 4854 . 2 ((𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (A, 𝐶) ↔ ((𝐺𝐻):A1-1-onto𝐶 x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
3833, 36, 373imtr4i 190 1 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (B, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (A, 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755  ccom 4292  wf 4841  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845   Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator