ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isotr Structured version   GIF version

Theorem isotr 5369
Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (B, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (A, 𝐶))

Proof of Theorem isotr
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . 4 ((𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w))) → 𝐺:B1-1-onto𝐶)
2 simpl 102 . . . 4 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → 𝐻:A1-1-ontoB)
3 f1oco 5062 . . . 4 ((𝐺:B1-1-onto𝐶 𝐻:A1-1-ontoB) → (𝐺𝐻):A1-1-onto𝐶)
41, 2, 3syl2anr 274 . . 3 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → (𝐺𝐻):A1-1-onto𝐶)
5 f1of 5039 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:AB)
65ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → 𝐻:AB)
7 simprl 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → x A)
86, 7ffvelrnd 5216 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → (𝐻x) B)
9 simprr 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → y A)
106, 9ffvelrnd 5216 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → (𝐻y) B)
11 simplrr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))
12 breq1 3730 . . . . . . . . . . . 12 (z = (𝐻x) → (z𝑆w ↔ (𝐻x)𝑆w))
13 fveq2 5091 . . . . . . . . . . . . 13 (z = (𝐻x) → (𝐺z) = (𝐺‘(𝐻x)))
1413breq1d 3737 . . . . . . . . . . . 12 (z = (𝐻x) → ((𝐺z)𝑇(𝐺w) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺w)))
1512, 14bibi12d 224 . . . . . . . . . . 11 (z = (𝐻x) → ((z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)) ↔ ((𝐻x)𝑆w ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺w))))
16 breq2 3731 . . . . . . . . . . . 12 (w = (𝐻y) → ((𝐻x)𝑆w ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)))
17 fveq2 5091 . . . . . . . . . . . . 13 (w = (𝐻y) → (𝐺w) = (𝐺‘(𝐻y)))
1817breq2d 3739 . . . . . . . . . . . 12 (w = (𝐻y) → ((𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺w) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y))))
1916, 18bibi12d 224 . . . . . . . . . . 11 (w = (𝐻y) → (((𝐻x)𝑆w ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺w)) ↔ ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y)))))
2015, 19rspc2va 2631 . . . . . . . . . 10 ((((𝐻x) B (𝐻y) B) z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w))) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y))))
218, 10, 11, 20syl21anc 1115 . . . . . . . . 9 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y))))
22 fvco3 5157 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:AB x A) → ((𝐺𝐻)‘x) = (𝐺‘(𝐻x)))
236, 7, 22syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((𝐺𝐻)‘x) = (𝐺‘(𝐻x)))
24 fvco3 5157 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:AB y A) → ((𝐺𝐻)‘y) = (𝐺‘(𝐻y)))
256, 9, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((𝐺𝐻)‘y) = (𝐺‘(𝐻y)))
2623, 25breq12d 3740 . . . . . . . . 9 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → (((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y) ↔ (𝐺‘(𝐻x))𝑇(𝐺‘(𝐻y))))
2721, 26bitr4d 180 . . . . . . . 8 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y)))
2827bibi2d 221 . . . . . . 7 (((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) (x A y A)) → ((x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
29282ralbidva 2315 . . . . . 6 ((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → (x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
3029biimpd 132 . . . . 5 ((𝐻:A1-1-ontoB (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → (x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) → x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
3130impancom 247 . . . 4 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → ((𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w))) → x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
3231imp 115 . . 3 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y)))
334, 32jca 290 . 2 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))) → ((𝐺𝐻):A1-1-onto𝐶 x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
34 df-isom 4826 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))))
35 df-isom 4826 . . 3 (𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (B, 𝐶) ↔ (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w))))
3634, 35anbi12i 433 . 2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (B, 𝐶)) ↔ ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (𝐺:B1-1-onto𝐶 z B w B (z𝑆w ↔ (𝐺z)𝑇(𝐺w)))))
37 df-isom 4826 . 2 ((𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (A, 𝐶) ↔ ((𝐺𝐻):A1-1-onto𝐶 x A y A (x𝑅y ↔ ((𝐺𝐻)‘x)𝑇((𝐺𝐻)‘y))))
3833, 36, 373imtr4i 190 1 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (B, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (A, 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1223   wcel 1366  wral 2275   class class class wbr 3727  ccom 4264  wf 4813  1-1-ontowf1o 4816  cfv 4817   Isom wiso 4818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-rex 2281  df-v 2528  df-sbc 2733  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-br 3728  df-opab 3782  df-id 3993  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-isom 4826
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator