ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltposr Structured version   GIF version

Theorem ltposr 6501
Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltposr <R Po R

Proof of Theorem ltposr
Dummy variables x y f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6465 . . . . 5 R = ((P × P) / ~R )
2 id 19 . . . . . . 7 ([⟨x, y⟩] ~R = f → [⟨x, y⟩] ~R = f)
32, 2breq12d 3740 . . . . . 6 ([⟨x, y⟩] ~R = f → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~Rf <R f))
43notbid 576 . . . . 5 ([⟨x, y⟩] ~R = f → (¬ [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ ¬ f <R f))
5 ltsopr 6419 . . . . . . . 8 <P Or P
6 ltrelpr 6345 . . . . . . . 8 <P ⊆ (P × P)
75, 6soirri 4634 . . . . . . 7 ¬ (x +P y)<P (x +P y)
8 addcomprg 6403 . . . . . . . 8 ((x P y P) → (x +P y) = (y +P x))
98breq2d 3739 . . . . . . 7 ((x P y P) → ((x +P y)<P (x +P y) ↔ (x +P y)<P (y +P x)))
107, 9mtbii 583 . . . . . 6 ((x P y P) → ¬ (x +P y)<P (y +P x))
11 ltsrprg 6485 . . . . . . 7 (((x P y P) (x P y P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (x +P y)<P (y +P x)))
1211anidms 377 . . . . . 6 ((x P y P) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (x +P y)<P (y +P x)))
1310, 12mtbird 582 . . . . 5 ((x P y P) → ¬ [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R )
141, 4, 13ecoptocl 6092 . . . 4 (f R → ¬ f <R f)
1514adantl 262 . . 3 (( ⊤ f R) → ¬ f <R f)
16 lttrsr 6500 . . . 4 ((f R g R R) → ((f <R g g <R ) → f <R ))
1716adantl 262 . . 3 (( ⊤ (f R g R R)) → ((f <R g g <R ) → f <R ))
1815, 17ispod 4004 . 2 ( ⊤ → <R Po R)
1918trud 1232 1 <R Po R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 867   = wceq 1223  wtru 1224   wcel 1366  cop 3342   class class class wbr 3727   Po wpo 3994  (class class class)co 5424  [cec 6003  Pcnp 6137   +P cpp 6139  <P cltp 6141   ~R cer 6142  Rcnr 6143   <R cltr 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-ltr 6468
This theorem is referenced by:  ltsosr  6502
  Copyright terms: Public domain W3C validator