Theorem ltposr 6691

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	⊢ <R Po R

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables x y f g ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6655	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → [⟨x, y⟩] ~R = f)
3	2, 2	breq12d 3768	. . . . . 6 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ f <R f))
4	3	notbid 591	. . . . 5 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → (¬ [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ ¬ f <R f))
5		ltsopr 6570	. . . . . . . 8 ⊢ <P Or P
6		ltrelpr 6488	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
7	5, 6	soirri 4662	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (x +P y)<P (x +P y)
8		addcomprg 6554	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → (x +P y) = (y +P x))
9	8	breq2d 3767	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ((x +P y)<P (x +P y) ↔ (x +P y)<P (y +P x)))
10	7, 9	mtbii 598	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ¬ (x +P y)<P (y +P x))
11		ltsrprg 6675	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (x ∈ P ∧ y ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (x +P y)<P (y +P x)))
12	11	anidms 377	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (x +P y)<P (y +P x)))
13	10, 12	mtbird 597	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ¬ [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6129	. . . 4 ⊢ (f ∈ R → ¬ f <R f)
15	14	adantl 262	. . 3 ⊢ (( ⊤ ∧ f ∈ R) → ¬ f <R f)
16		lttrsr 6690	. . . 4 ⊢ ((f ∈ R ∧ g ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ))
17	16	adantl 262	. . 3 ⊢ (( ⊤ ∧ (f ∈ R ∧ g ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ))
18	15, 17	ispod 4032	. 2 ⊢ ( ⊤ → <R Po R)
19	18	trud 1251	1 ⊢ <R Po R

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ⊤ wtru 1243   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755   Po wpo 4022  (class class class)co 5455  [cec 6040  Pcnp 6275   +_P cpp 6277  <_P cltp 6279   ~_R cer 6280  Rcnr 6281   <_R cltr 6287

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658

This theorem is referenced by:  ltsosr  6692