Theorem ltposr 6501

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	⊢ <R Po R

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables x y f g ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6465	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → [⟨x, y⟩] ~R = f)
3	2, 2	breq12d 3740	. . . . . 6 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ f <R f))
4	3	notbid 576	. . . . 5 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = f → (¬ [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ ¬ f <R f))
5		ltsopr 6419	. . . . . . . 8 ⊢ <P Or P
6		ltrelpr 6345	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
7	5, 6	soirri 4634	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (x +P y)<P (x +P y)
8		addcomprg 6403	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → (x +P y) = (y +P x))
9	8	breq2d 3739	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ((x +P y)<P (x +P y) ↔ (x +P y)<P (y +P x)))
10	7, 9	mtbii 583	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ¬ (x +P y)<P (y +P x))
11		ltsrprg 6485	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (x ∈ P ∧ y ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (x +P y)<P (y +P x)))
12	11	anidms 377	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (x +P y)<P (y +P x)))
13	10, 12	mtbird 582	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ¬ [⟨x, y⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6092	. . . 4 ⊢ (f ∈ R → ¬ f <R f)
15	14	adantl 262	. . 3 ⊢ (( ⊤ ∧ f ∈ R) → ¬ f <R f)
16		lttrsr 6500	. . . 4 ⊢ ((f ∈ R ∧ g ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ))
17	16	adantl 262	. . 3 ⊢ (( ⊤ ∧ (f ∈ R ∧ g ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((f <R g ∧ g <R ℎ) → f <R ℎ))
18	15, 17	ispod 4004	. 2 ⊢ ( ⊤ → <R Po R)
19	18	trud 1232	1 ⊢ <R Po R

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 867   = wceq 1223   ⊤ wtru 1224   ∈ wcel 1366  ⟨cop 3342   class class class wbr 3727   Po wpo 3994  (class class class)co 5424  [cec 6003  Pcnp 6137   +_P cpp 6139  <_P cltp 6141   ~_R cer 6142  Rcnr 6143   <_R cltr 6149

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-ltr 6468

This theorem is referenced by:  ltsosr  6502