ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  remullem Structured version   GIF version

Theorem remullem 9059
Description: Lemma for remul 9060, immul 9067, and cjmul 9073. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem ((A B ℂ) → ((ℜ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) (ℑ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) (∗‘(A · B)) = ((∗‘A) · (∗‘B))))

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 9047 . . . . . 6 (A ℂ → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
2 replim 9047 . . . . . 6 (B ℂ → B = ((ℜ‘B) + (i · (ℑ‘B))))
31, 2oveqan12d 5474 . . . . 5 ((A B ℂ) → (A · B) = (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · ((ℜ‘B) + (i · (ℑ‘B)))))
4 recl 9041 . . . . . . . . 9 (A ℂ → (ℜ‘A) ℝ)
54adantr 261 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (ℜ‘A) ℝ)
65recnd 6811 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (ℜ‘A) ℂ)
7 ax-icn 6738 . . . . . . . 8 i
8 imcl 9042 . . . . . . . . . 10 (A ℂ → (ℑ‘A) ℝ)
98adantr 261 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (ℑ‘A) ℝ)
109recnd 6811 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (ℑ‘A) ℂ)
11 mulcl 6766 . . . . . . . 8 ((i (ℑ‘A) ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
127, 10, 11sylancr 393 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
136, 12addcld 6804 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) ℂ)
14 recl 9041 . . . . . . . 8 (B ℂ → (ℜ‘B) ℝ)
1514adantl 262 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (ℜ‘B) ℝ)
1615recnd 6811 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (ℜ‘B) ℂ)
17 imcl 9042 . . . . . . . . 9 (B ℂ → (ℑ‘B) ℝ)
1817adantl 262 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (ℑ‘B) ℝ)
1918recnd 6811 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (ℑ‘B) ℂ)
20 mulcl 6766 . . . . . . 7 ((i (ℑ‘B) ℂ) → (i · (ℑ‘B)) ℂ)
217, 19, 20sylancr 393 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘B)) ℂ)
2213, 16, 21adddid 6809 . . . . 5 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · ((ℜ‘B) + (i · (ℑ‘B)))) = ((((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (ℜ‘B)) + (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (i · (ℑ‘B)))))
236, 12, 16adddird 6810 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (ℜ‘B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))))
246, 12, 21adddird 6810 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (i · (ℑ‘B))) = (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))))
2523, 24oveq12d 5473 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (ℜ‘B)) + (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (i · (ℑ‘B)))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))) + (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))))))
265, 15remulcld 6813 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) ℝ)
2726recnd 6811 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) ℂ)
2812, 21mulcld 6805 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))) ℂ)
2912, 16mulcld 6805 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) ℂ)
306, 21mulcld 6805 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) ℂ)
3127, 28, 29, 30add42d 6938 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) + (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) + ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))) + (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))))))
327a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → i ℂ)
3332, 10, 32, 19mul4d 6925 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))) = ((i · i) · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
34 ixi 7327 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
3534oveq1i 5465 . . . . . . . . . . 11 ((i · i) · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) = (-1 · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B)))
369, 18remulcld 6813 . . . . . . . . . . . . 13 ((A B ℂ) → ((ℑ‘A) · (ℑ‘B)) ℝ)
3736recnd 6811 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℂ) → ((ℑ‘A) · (ℑ‘B)) ℂ)
3837mulm1d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → (-1 · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) = -((ℑ‘A) · (ℑ‘B)))
3935, 38syl5eq 2081 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) = -((ℑ‘A) · (ℑ‘B)))
4033, 39eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))) = -((ℑ‘A) · (ℑ‘B)))
4140oveq2d 5471 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + -((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
4227, 37negsubd 7084 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + -((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
4341, 42eqtrd 2069 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
449, 15remulcld 6813 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)) ℝ)
4544recnd 6811 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)) ℂ)
46 mulcl 6766 . . . . . . . . . 10 ((i ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)) ℂ) → (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℂ)
477, 45, 46sylancr 393 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℂ)
485, 18remulcld 6813 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) ℝ)
4948recnd 6811 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) ℂ)
50 mulcl 6766 . . . . . . . . . 10 ((i ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) ℂ) → (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) ℂ)
517, 49, 50sylancr 393 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) ℂ)
5247, 51addcomd 6921 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → ((i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) + (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)))) = ((i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
5332, 10, 16mulassd 6808 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) = (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))
546, 32, 19mul12d 6922 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) = (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))))
5553, 54oveq12d 5473 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) + ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))) = ((i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) + (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)))))
5632, 49, 45adddid 6809 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))) = ((i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
5752, 55, 563eqtr4d 2079 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) + ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))) = (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
5843, 57oveq12d 5473 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) + (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) + ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))))
5925, 31, 583eqtr2d 2075 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (ℜ‘B)) + (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (i · (ℑ‘B)))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))))
603, 22, 593eqtrd 2073 . . . 4 ((A B ℂ) → (A · B) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))))
6160fveq2d 5125 . . 3 ((A B ℂ) → (ℜ‘(A · B)) = (ℜ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))))
6226, 36resubcld 7135 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) ℝ)
6348, 44readdcld 6812 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℝ)
64 crre 9045 . . . 4 (((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℝ) → (ℜ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
6562, 63, 64syl2anc 391 . . 3 ((A B ℂ) → (ℜ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
6661, 65eqtrd 2069 . 2 ((A B ℂ) → (ℜ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
6760fveq2d 5125 . . 3 ((A B ℂ) → (ℑ‘(A · B)) = (ℑ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))))
68 crim 9046 . . . 4 (((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℝ) → (ℑ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))
6962, 63, 68syl2anc 391 . . 3 ((A B ℂ) → (ℑ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))
7067, 69eqtrd 2069 . 2 ((A B ℂ) → (ℑ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))
71 mulcl 6766 . . . 4 ((A B ℂ) → (A · B) ℂ)
72 remim 9048 . . . 4 ((A · B) ℂ → (∗‘(A · B)) = ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))))
7371, 72syl 14 . . 3 ((A B ℂ) → (∗‘(A · B)) = ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))))
74 remim 9048 . . . . 5 (A ℂ → (∗‘A) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))
75 remim 9048 . . . . 5 (B ℂ → (∗‘B) = ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))))
7674, 75oveqan12d 5474 . . . 4 ((A B ℂ) → ((∗‘A) · (∗‘B)) = (((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))))
7716, 21subcld 7078 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))) ℂ)
786, 12, 77subdird 7168 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) − ((i · (ℑ‘A)) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))))))
7927, 30, 29, 28subadd4d 7126 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))) − (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) − ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) − (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)))))
806, 16, 21subdid 7167 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))))
8112, 16, 21subdid 7167 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) = (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) − ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))))
8280, 81oveq12d 5473 . . . . 5 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) − ((i · (ℑ‘A)) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))) − (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) − ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))))))
8365, 61, 433eqtr4d 2079 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (ℜ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))))
8470oveq2d 5471 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘(A · B))) = (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
8554, 53oveq12d 5473 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))) = ((i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
8656, 84, 853eqtr4d 2079 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘(A · B))) = (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))))
8783, 86oveq12d 5473 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) − (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)))))
8879, 82, 873eqtr4d 2079 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) − ((i · (ℑ‘A)) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))))) = ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))))
8976, 78, 883eqtrd 2073 . . 3 ((A B ℂ) → ((∗‘A) · (∗‘B)) = ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))))
9073, 89eqtr4d 2072 . 2 ((A B ℂ) → (∗‘(A · B)) = ((∗‘A) · (∗‘B)))
9166, 70, 903jca 1083 1 ((A B ℂ) → ((ℜ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) (ℑ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) (∗‘(A · B)) = ((∗‘A) · (∗‘B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  1c1 6672  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939  -cneg 6940  ccj 9027  cre 9028  cim 9029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-2 7713  df-cj 9030  df-re 9031  df-im 9032
This theorem is referenced by:  remul  9060  immul  9067  cjmul  9073
  Copyright terms: Public domain W3C validator