ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  remullem GIF version

Theorem remullem 9192
Description: Lemma for remul 9193, immul 9200, and cjmul 9206. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem ((A B ℂ) → ((ℜ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) (ℑ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) (∗‘(A · B)) = ((∗‘A) · (∗‘B))))

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 9180 . . . . . 6 (A ℂ → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
2 replim 9180 . . . . . 6 (B ℂ → B = ((ℜ‘B) + (i · (ℑ‘B))))
31, 2oveqan12d 5477 . . . . 5 ((A B ℂ) → (A · B) = (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · ((ℜ‘B) + (i · (ℑ‘B)))))
4 recl 9174 . . . . . . . . 9 (A ℂ → (ℜ‘A) ℝ)
54adantr 261 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (ℜ‘A) ℝ)
65recnd 6943 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (ℜ‘A) ℂ)
7 ax-icn 6869 . . . . . . . 8 i
8 imcl 9175 . . . . . . . . . 10 (A ℂ → (ℑ‘A) ℝ)
98adantr 261 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (ℑ‘A) ℝ)
109recnd 6943 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (ℑ‘A) ℂ)
11 mulcl 6898 . . . . . . . 8 ((i (ℑ‘A) ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
127, 10, 11sylancr 393 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
136, 12addcld 6936 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) ℂ)
14 recl 9174 . . . . . . . 8 (B ℂ → (ℜ‘B) ℝ)
1514adantl 262 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (ℜ‘B) ℝ)
1615recnd 6943 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (ℜ‘B) ℂ)
17 imcl 9175 . . . . . . . . 9 (B ℂ → (ℑ‘B) ℝ)
1817adantl 262 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (ℑ‘B) ℝ)
1918recnd 6943 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (ℑ‘B) ℂ)
20 mulcl 6898 . . . . . . 7 ((i (ℑ‘B) ℂ) → (i · (ℑ‘B)) ℂ)
217, 19, 20sylancr 393 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘B)) ℂ)
2213, 16, 21adddid 6941 . . . . 5 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · ((ℜ‘B) + (i · (ℑ‘B)))) = ((((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (ℜ‘B)) + (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (i · (ℑ‘B)))))
236, 12, 16adddird 6942 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (ℜ‘B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))))
246, 12, 21adddird 6942 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (i · (ℑ‘B))) = (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))))
2523, 24oveq12d 5476 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (ℜ‘B)) + (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (i · (ℑ‘B)))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))) + (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))))))
265, 15remulcld 6945 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) ℝ)
2726recnd 6943 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) ℂ)
2812, 21mulcld 6937 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))) ℂ)
2912, 16mulcld 6937 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) ℂ)
306, 21mulcld 6937 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) ℂ)
3127, 28, 29, 30add42d 7070 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) + (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) + ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))) + (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))))))
327a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → i ℂ)
3332, 10, 32, 19mul4d 7057 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))) = ((i · i) · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
34 ixi 7459 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
3534oveq1i 5468 . . . . . . . . . . 11 ((i · i) · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) = (-1 · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B)))
369, 18remulcld 6945 . . . . . . . . . . . . 13 ((A B ℂ) → ((ℑ‘A) · (ℑ‘B)) ℝ)
3736recnd 6943 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℂ) → ((ℑ‘A) · (ℑ‘B)) ℂ)
3837mulm1d 7295 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → (-1 · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) = -((ℑ‘A) · (ℑ‘B)))
3935, 38syl5eq 2084 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) = -((ℑ‘A) · (ℑ‘B)))
4033, 39eqtrd 2072 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))) = -((ℑ‘A) · (ℑ‘B)))
4140oveq2d 5474 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + -((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
4227, 37negsubd 7216 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + -((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
4341, 42eqtrd 2072 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
449, 15remulcld 6945 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)) ℝ)
4544recnd 6943 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)) ℂ)
46 mulcl 6898 . . . . . . . . . 10 ((i ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)) ℂ) → (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℂ)
477, 45, 46sylancr 393 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℂ)
485, 18remulcld 6945 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) ℝ)
4948recnd 6943 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) ℂ)
50 mulcl 6898 . . . . . . . . . 10 ((i ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) ℂ) → (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) ℂ)
517, 49, 50sylancr 393 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) ℂ)
5247, 51addcomd 7053 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → ((i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) + (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)))) = ((i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
5332, 10, 16mulassd 6940 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) = (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))
546, 32, 19mul12d 7054 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) = (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))))
5553, 54oveq12d 5476 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) + ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))) = ((i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) + (i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B)))))
5632, 49, 45adddid 6941 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))) = ((i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
5752, 55, 563eqtr4d 2082 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) + ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))) = (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
5843, 57oveq12d 5476 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) + (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) + ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))))
5925, 31, 583eqtr2d 2078 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (ℜ‘B)) + (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) · (i · (ℑ‘B)))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))))
603, 22, 593eqtrd 2076 . . . 4 ((A B ℂ) → (A · B) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))))
6160fveq2d 5128 . . 3 ((A B ℂ) → (ℜ‘(A · B)) = (ℜ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))))
6226, 36resubcld 7267 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) ℝ)
6348, 44readdcld 6944 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℝ)
64 crre 9178 . . . 4 (((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℝ) → (ℜ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
6562, 63, 64syl2anc 391 . . 3 ((A B ℂ) → (ℜ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
6661, 65eqtrd 2072 . 2 ((A B ℂ) → (ℜ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))))
6760fveq2d 5128 . . 3 ((A B ℂ) → (ℑ‘(A · B)) = (ℑ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))))
68 crim 9179 . . . 4 (((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) ℝ) → (ℑ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))
6962, 63, 68syl2anc 391 . . 3 ((A B ℂ) → (ℑ‘((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))
7067, 69eqtrd 2072 . 2 ((A B ℂ) → (ℑ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))))
71 mulcl 6898 . . . 4 ((A B ℂ) → (A · B) ℂ)
72 remim 9181 . . . 4 ((A · B) ℂ → (∗‘(A · B)) = ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))))
7371, 72syl 14 . . 3 ((A B ℂ) → (∗‘(A · B)) = ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))))
74 remim 9181 . . . . 5 (A ℂ → (∗‘A) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))
75 remim 9181 . . . . 5 (B ℂ → (∗‘B) = ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))))
7674, 75oveqan12d 5477 . . . 4 ((A B ℂ) → ((∗‘A) · (∗‘B)) = (((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))))
7716, 21subcld 7210 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))) ℂ)
786, 12, 77subdird 7300 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) − ((i · (ℑ‘A)) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))))))
7927, 30, 29, 28subadd4d 7258 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))) − (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) − ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) − (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)))))
806, 16, 21subdid 7299 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))))
8112, 16, 21subdid 7299 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((i · (ℑ‘A)) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) = (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) − ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))))
8280, 81oveq12d 5476 . . . . 5 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) − ((i · (ℑ‘A)) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B)))) − (((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)) − ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B))))))
8365, 61, 433eqtr4d 2082 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (ℜ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))))
8470oveq2d 5474 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘(A · B))) = (i · (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
8554, 53oveq12d 5476 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))) = ((i · ((ℜ‘A) · (ℑ‘B))) + (i · ((ℑ‘A) · (ℜ‘B)))))
8656, 84, 853eqtr4d 2082 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘(A · B))) = (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B))))
8783, 86oveq12d 5476 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))) = ((((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) · (i · (ℑ‘B)))) − (((ℜ‘A) · (i · (ℑ‘B))) + ((i · (ℑ‘A)) · (ℜ‘B)))))
8879, 82, 873eqtr4d 2082 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B)))) − ((i · (ℑ‘A)) · ((ℜ‘B) − (i · (ℑ‘B))))) = ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))))
8976, 78, 883eqtrd 2076 . . 3 ((A B ℂ) → ((∗‘A) · (∗‘B)) = ((ℜ‘(A · B)) − (i · (ℑ‘(A · B)))))
9073, 89eqtr4d 2075 . 2 ((A B ℂ) → (∗‘(A · B)) = ((∗‘A) · (∗‘B)))
9166, 70, 903jca 1084 1 ((A B ℂ) → ((ℜ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℜ‘B)) − ((ℑ‘A) · (ℑ‘B))) (ℑ‘(A · B)) = (((ℜ‘A) · (ℑ‘B)) + ((ℑ‘A) · (ℜ‘B))) (∗‘(A · B)) = ((∗‘A) · (∗‘B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 885   = wceq 1243   wcel 1393  cfv 4848  (class class class)co 5458  cc 6777  cr 6778  1c1 6780  ici 6781   + caddc 6782   · cmul 6784  cmin 7071  -cneg 7072  ccj 9160  cre 9161  cim 9162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3866  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223  ax-iinf 4257  ax-cnex 6865  ax-resscn 6866  ax-1cn 6867  ax-1re 6868  ax-icn 6869  ax-addcl 6870  ax-addrcl 6871  ax-mulcl 6872  ax-mulrcl 6873  ax-addcom 6874  ax-mulcom 6875  ax-addass 6876  ax-mulass 6877  ax-distr 6878  ax-i2m1 6879  ax-1rid 6881  ax-0id 6882  ax-rnegex 6883  ax-precex 6884  ax-cnre 6885  ax-pre-ltirr 6886  ax-pre-ltwlin 6887  ax-pre-lttrn 6888  ax-pre-apti 6889  ax-pre-ltadd 6890  ax-pre-mulgt0 6891  ax-pre-mulext 6892
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-int 3610  df-iun 3653  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-tr 3849  df-eprel 4020  df-id 4024  df-po 4027  df-iso 4028  df-iord 4072  df-on 4074  df-suc 4077  df-iom 4260  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-f 4852  df-f1 4853  df-fo 4854  df-f1o 4855  df-fv 4856  df-riota 5414  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-1st 5712  df-2nd 5713  df-recs 5865  df-irdg 5901  df-1o 5944  df-2o 5945  df-oadd 5948  df-omul 5949  df-er 6046  df-ec 6048  df-qs 6052  df-ni 6292  df-pli 6293  df-mi 6294  df-lti 6295  df-plpq 6332  df-mpq 6333  df-enq 6335  df-nqqs 6336  df-plqqs 6337  df-mqqs 6338  df-1nqqs 6339  df-rq 6340  df-ltnqqs 6341  df-enq0 6412  df-nq0 6413  df-0nq0 6414  df-plq0 6415  df-mq0 6416  df-inp 6454  df-i1p 6455  df-iplp 6456  df-iltp 6458  df-enr 6701  df-nr 6702  df-ltr 6705  df-0r 6706  df-1r 6707  df-0 6786  df-1 6787  df-r 6789  df-lt 6792  df-pnf 6951  df-mnf 6952  df-xr 6953  df-ltxr 6954  df-le 6955  df-sub 7073  df-neg 7074  df-reap 7451  df-ap 7458  df-div 7526  df-2 7845  df-cj 9163  df-re 9164  df-im 9165
This theorem is referenced by:  remul  9193  immul  9200  cjmul  9206
  Copyright terms: Public domain W3C validator