ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  crre Structured version   GIF version

Theorem crre 9085
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crre ((A B ℝ) → (ℜ‘(A + (i · B))) = A)

Proof of Theorem crre
StepHypRef Expression
1 recn 6812 . . . 4 (A ℝ → A ℂ)
2 ax-icn 6778 . . . . 5 i
3 recn 6812 . . . . 5 (B ℝ → B ℂ)
4 mulcl 6806 . . . . 5 ((i B ℂ) → (i · B) ℂ)
52, 3, 4sylancr 393 . . . 4 (B ℝ → (i · B) ℂ)
6 addcl 6804 . . . 4 ((A (i · B) ℂ) → (A + (i · B)) ℂ)
71, 5, 6syl2an 273 . . 3 ((A B ℝ) → (A + (i · B)) ℂ)
8 reval 9077 . . 3 ((A + (i · B)) ℂ → (ℜ‘(A + (i · B))) = (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2))
97, 8syl 14 . 2 ((A B ℝ) → (ℜ‘(A + (i · B))) = (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2))
10 cjcl 9076 . . . . . 6 ((A + (i · B)) ℂ → (∗‘(A + (i · B))) ℂ)
117, 10syl 14 . . . . 5 ((A B ℝ) → (∗‘(A + (i · B))) ℂ)
127, 11addcld 6844 . . . 4 ((A B ℝ) → ((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) ℂ)
1312halfcld 7946 . . 3 ((A B ℝ) → (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) ℂ)
141adantr 261 . . 3 ((A B ℝ) → A ℂ)
15 recl 9081 . . . . . . 7 ((A + (i · B)) ℂ → (ℜ‘(A + (i · B))) ℝ)
167, 15syl 14 . . . . . 6 ((A B ℝ) → (ℜ‘(A + (i · B))) ℝ)
179, 16eqeltrrd 2112 . . . . 5 ((A B ℝ) → (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) ℝ)
18 simpl 102 . . . . 5 ((A B ℝ) → A ℝ)
1917, 18resubcld 7175 . . . 4 ((A B ℝ) → ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A) ℝ)
202a1i 9 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → i ℂ)
213adantl 262 . . . . . . . 8 ((A B ℝ) → B ℂ)
222, 21, 4sylancr 393 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → (i · B) ℂ)
237, 11subcld 7118 . . . . . . . 8 ((A B ℝ) → ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) ℂ)
2423halfcld 7946 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2) ℂ)
2520, 22, 24subdid 7207 . . . . . 6 ((A B ℝ) → (i · ((i · B) − (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2))) = ((i · (i · B)) − (i · (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2))))
2614, 22, 14pnpcand 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A B ℝ) → ((A + (i · B)) − (A + A)) = ((i · B) − A))
2722, 14, 22pnpcan2d 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A B ℝ) → (((i · B) + (i · B)) − (A + (i · B))) = ((i · B) − A))
2826, 27eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . . . 13 ((A B ℝ) → ((A + (i · B)) − (A + A)) = (((i · B) + (i · B)) − (A + (i · B))))
2928oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℝ) → (((A + (i · B)) − (A + A)) + (∗‘(A + (i · B)))) = ((((i · B) + (i · B)) − (A + (i · B))) + (∗‘(A + (i · B)))))
3014, 14addcld 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((A B ℝ) → (A + A) ℂ)
317, 11, 30addsubd 7139 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℝ) → (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) − (A + A)) = (((A + (i · B)) − (A + A)) + (∗‘(A + (i · B)))))
3222, 22addcld 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((A B ℝ) → ((i · B) + (i · B)) ℂ)
3332, 7, 11subsubd 7146 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℝ) → (((i · B) + (i · B)) − ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) = ((((i · B) + (i · B)) − (A + (i · B))) + (∗‘(A + (i · B)))))
3429, 31, 333eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℝ) → (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) − (A + A)) = (((i · B) + (i · B)) − ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))))
35142timesd 7944 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℝ) → (2 · A) = (A + A))
3635oveq2d 5471 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℝ) → (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) − (2 · A)) = (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) − (A + A)))
37222timesd 7944 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℝ) → (2 · (i · B)) = ((i · B) + (i · B)))
3837oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℝ) → ((2 · (i · B)) − ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) = (((i · B) + (i · B)) − ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))))
3934, 36, 383eqtr4d 2079 . . . . . . . . . 10 ((A B ℝ) → (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) − (2 · A)) = ((2 · (i · B)) − ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))))
4039oveq1d 5470 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) − (2 · A)) / 2) = (((2 · (i · B)) − ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) / 2))
41 2cn 7766 . . . . . . . . . . 11 2
42 mulcl 6806 . . . . . . . . . . 11 ((2 A ℂ) → (2 · A) ℂ)
4341, 14, 42sylancr 393 . . . . . . . . . 10 ((A B ℝ) → (2 · A) ℂ)
4441a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((A B ℝ) → 2 ℂ)
45 2ap0 7789 . . . . . . . . . . 11 2 # 0
4645a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((A B ℝ) → 2 # 0)
4712, 43, 44, 46divsubdirapd 7586 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) − (2 · A)) / 2) = ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − ((2 · A) / 2)))
48 mulcl 6806 . . . . . . . . . . 11 ((2 (i · B) ℂ) → (2 · (i · B)) ℂ)
4941, 22, 48sylancr 393 . . . . . . . . . 10 ((A B ℝ) → (2 · (i · B)) ℂ)
5049, 23, 44, 46divsubdirapd 7586 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → (((2 · (i · B)) − ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) / 2) = (((2 · (i · B)) / 2) − (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2)))
5140, 47, 503eqtr3d 2077 . . . . . . . 8 ((A B ℝ) → ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − ((2 · A) / 2)) = (((2 · (i · B)) / 2) − (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2)))
5214, 44, 46divcanap3d 7552 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → ((2 · A) / 2) = A)
5352oveq2d 5471 . . . . . . . 8 ((A B ℝ) → ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − ((2 · A) / 2)) = ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A))
5422, 44, 46divcanap3d 7552 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → ((2 · (i · B)) / 2) = (i · B))
5554oveq1d 5470 . . . . . . . 8 ((A B ℝ) → (((2 · (i · B)) / 2) − (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2)) = ((i · B) − (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2)))
5651, 53, 553eqtr3d 2077 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A) = ((i · B) − (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2)))
5756oveq2d 5471 . . . . . 6 ((A B ℝ) → (i · ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A)) = (i · ((i · B) − (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2))))
5820, 20, 21mulassd 6848 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → ((i · i) · B) = (i · (i · B)))
5920, 23, 44, 46divassapd 7582 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → ((i · ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) / 2) = (i · (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2)))
6058, 59oveq12d 5473 . . . . . 6 ((A B ℝ) → (((i · i) · B) − ((i · ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) / 2)) = ((i · (i · B)) − (i · (((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B)))) / 2))))
6125, 57, 603eqtr4d 2079 . . . . 5 ((A B ℝ) → (i · ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A)) = (((i · i) · B) − ((i · ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) / 2)))
62 ixi 7367 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
63 neg1rr 7801 . . . . . . . 8 -1
6462, 63eqeltri 2107 . . . . . . 7 (i · i)
65 simpr 103 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → B ℝ)
66 remulcl 6807 . . . . . . 7 (((i · i) B ℝ) → ((i · i) · B) ℝ)
6764, 65, 66sylancr 393 . . . . . 6 ((A B ℝ) → ((i · i) · B) ℝ)
68 cjth 9074 . . . . . . . . 9 ((A + (i · B)) ℂ → (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) (i · ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) ℝ))
6968simprd 107 . . . . . . . 8 ((A + (i · B)) ℂ → (i · ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) ℝ)
707, 69syl 14 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → (i · ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) ℝ)
7170rehalfcld 7948 . . . . . 6 ((A B ℝ) → ((i · ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) / 2) ℝ)
7267, 71resubcld 7175 . . . . 5 ((A B ℝ) → (((i · i) · B) − ((i · ((A + (i · B)) − (∗‘(A + (i · B))))) / 2)) ℝ)
7361, 72eqeltrd 2111 . . . 4 ((A B ℝ) → (i · ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A)) ℝ)
74 rimul 7369 . . . 4 ((((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A) (i · ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A)) ℝ) → ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A) = 0)
7519, 73, 74syl2anc 391 . . 3 ((A B ℝ) → ((((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) − A) = 0)
7613, 14, 75subeq0d 7126 . 2 ((A B ℝ) → (((A + (i · B)) + (∗‘(A + (i · B)))) / 2) = A)
779, 76eqtrd 2069 1 ((A B ℝ) → (ℜ‘(A + (i · B))) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6709  cr 6710  0cc0 6711  1c1 6712  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716  cmin 6979  -cneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433  2c2 7744  ccj 9067  cre 9068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-2 7753  df-cj 9070  df-re 9071
This theorem is referenced by:  crim  9086  replim  9087  mulreap  9092  recj  9095  reneg  9096  readd  9097  remullem  9099  rei  9127  crrei  9164  crred  9203  rennim  9211
  Copyright terms: Public domain W3C validator