ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subdid GIF version

Theorem subdid 7390
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subdid (𝜑 → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subdid.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subdi 7361 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1135 1 (𝜑 → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1243  wcel 1393  (class class class)co 5499  cc 6868   · cmul 6875  cmin 7162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-setind 4256  ax-resscn 6957  ax-1cn 6958  ax-icn 6960  ax-addcl 6961  ax-addrcl 6962  ax-mulcl 6963  ax-addcom 6965  ax-addass 6967  ax-distr 6969  ax-i2m1 6970  ax-0id 6973  ax-rnegex 6974  ax-cnre 6976
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-id 4027  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fv 4897  df-riota 5455  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-sub 7164
This theorem is referenced by:  cru  7569  recextlem1  7608  cju  7889  zneo  8311  lincmb01cmp  8838  iccf1o  8839  subsq  9236  crre  9335  remullem  9349  mulcn2  9710
  Copyright terms: Public domain W3C validator