Theorem qdencn 10124

Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 9798 (and also would hold for ℝ × ℝ with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qdencn.q	⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}

Assertion

Ref	Expression
qdencn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑄

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑄(𝑧)

Proof of Theorem qdencn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 102	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	recld 9538	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rphalfcld 8635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
5		qdenre 9798	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
6	2, 4, 5	syl2anc 391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
7		simpll 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 9539	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	4	adantr 261	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
10		qdenre 9798	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
11	8, 9, 10	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
12		qcn 8569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrl 459	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
14	13	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
15		ax-icn 6979	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → i ∈ ℂ)
17		qcn 8569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 459	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcld 7047	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · 𝑣) ∈ ℂ)
20	14, 19	addcld 7046	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ)
21		qre 8560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrl 459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
23	22	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
24		qre 8560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℝ)
25	24	ad2antrl 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℝ)
26	23, 25	crred 9576	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑢)
27		simplrl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℚ)
28	26, 27	eqeltrd 2114	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
29	23, 25	crimd 9577	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑣)
30		simprl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℚ)
31	29, 30	eqeltrd 2114	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
32	28, 31	jca 290	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
33		fveq2 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℜ‘𝑧) = (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
34	33	eleq1d 2106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
35		fveq2 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℑ‘𝑧) = (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
36	35	eleq1d 2106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℑ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
37	34, 36	anbi12d 442	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ) ↔ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
38		qdencn.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}
39	37, 38	elrab2 2700	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ↔ ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
40	20, 32, 39	sylanbrc 394	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄)
41	7	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	20, 41	subcld 7322	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) ∈ ℂ)
43	42	abscld 9777	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ∈ ℝ)
44	2	ad2antrr 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	recnd 7054	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
46	14, 45	subcld 7322	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
47	46	abscld 9777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
48	8	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
49	48	recnd 7054	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
50	18, 49	subcld 7322	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑣 − (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	abscld 9777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	47, 51	readdcld 7055	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
53	3	ad2antrr 457	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 8622	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	1	replimd 9541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
56	55	oveq2d 5528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
57	56	ad2antrr 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
58	16, 49	mulcld 7047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	14, 19, 45, 58	addsub4d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
60	57, 59	eqtrd 2072	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
61	60	fveq2d 5182	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) = (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
62	19, 58	subcld 7322	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
63	46, 62	abstrid 9792	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
64	61, 63	eqbrtrd 3784	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
65	16, 50	absmuld 9790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
66	16, 18, 49	subdid 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴))) = ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))
67	66	fveq2d 5182	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
68		absi 9657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘i) = 1
69	68	oveq1i 5522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
70	51	recnd 7054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
71	70	mulid2d 7045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
72	69, 71	syl5eq 2084	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
73	65, 67, 72	3eqtr3d 2080	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
74	73	oveq2d 5528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
75	64, 74	breqtrd 3788	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
76		simplrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
77		simprr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
78	47, 51, 54, 76, 77	lt2halvesd 8172	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) < 𝐵)
79	43, 52, 54, 75, 78	lelttrd 7139	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵)
80		oveq1 5519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝑥 − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴))
81	80	fveq2d 5182	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)))
82	81	breq1d 3774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵))
83	82	rspcev 2656	. . . 4 ⊢ (((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ∧ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
84	40, 79, 83	syl2anc 391	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
85	11, 84	rexlimddv 2437	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
86	6, 85	rexlimddv 2437	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  {crab 2310   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  1c1 6890  ici 6891   + caddc 6892   · cmul 6894   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182   / cdiv 7651  2c2 7964  ℚcq 8554  ℝ⁺crp 8583  ℜcre 9440  ℑcim 9441  abscabs 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-q 8555  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597

This theorem is referenced by: (None)