ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lincmb01cmp GIF version

Theorem lincmb01cmp 8733
Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lincmb01cmp (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)) (A[,]B))

Proof of Theorem lincmb01cmp
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 𝑇 (0[,]1))
2 0re 6917 . . . . . . 7 0
32a1i 9 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 0 ℝ)
4 1re 6916 . . . . . . 7 1
54a1i 9 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 1 ℝ)
62, 4elicc2i 8670 . . . . . . . 8 (𝑇 (0[,]1) ↔ (𝑇 0 ≤ 𝑇 𝑇 ≤ 1))
76simp1bi 919 . . . . . . 7 (𝑇 (0[,]1) → 𝑇 ℝ)
87adantl 262 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 𝑇 ℝ)
9 difrp 8486 . . . . . . . 8 ((A B ℝ) → (A < B ↔ (BA) +))
109biimp3a 1235 . . . . . . 7 ((A B A < B) → (BA) +)
1110adantr 261 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (BA) +)
12 eqid 2040 . . . . . . 7 (0 · (BA)) = (0 · (BA))
13 eqid 2040 . . . . . . 7 (1 · (BA)) = (1 · (BA))
1412, 13iccdil 8728 . . . . . 6 (((0 1 ℝ) (𝑇 (BA) +)) → (𝑇 (0[,]1) ↔ (𝑇 · (BA)) ((0 · (BA))[,](1 · (BA)))))
153, 5, 8, 11, 14syl22anc 1136 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 (0[,]1) ↔ (𝑇 · (BA)) ((0 · (BA))[,](1 · (BA)))))
161, 15mpbid 135 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · (BA)) ((0 · (BA))[,](1 · (BA))))
17 simpl2 908 . . . . . . . 8 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → B ℝ)
18 simpl1 907 . . . . . . . 8 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → A ℝ)
1917, 18resubcld 7267 . . . . . . 7 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (BA) ℝ)
2019recnd 6943 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (BA) ℂ)
2120mul02d 7277 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (0 · (BA)) = 0)
2220mulid2d 6935 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (1 · (BA)) = (BA))
2321, 22oveq12d 5476 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((0 · (BA))[,](1 · (BA))) = (0[,](BA)))
2416, 23eleqtrd 2116 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · (BA)) (0[,](BA)))
258, 19remulcld 6945 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · (BA)) ℝ)
26 eqid 2040 . . . . 5 (0 + A) = (0 + A)
27 eqid 2040 . . . . 5 ((BA) + A) = ((BA) + A)
2826, 27iccshftr 8724 . . . 4 (((0 (BA) ℝ) ((𝑇 · (BA)) A ℝ)) → ((𝑇 · (BA)) (0[,](BA)) ↔ ((𝑇 · (BA)) + A) ((0 + A)[,]((BA) + A))))
293, 19, 25, 18, 28syl22anc 1136 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · (BA)) (0[,](BA)) ↔ ((𝑇 · (BA)) + A) ((0 + A)[,]((BA) + A))))
3024, 29mpbid 135 . 2 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · (BA)) + A) ((0 + A)[,]((BA) + A)))
318recnd 6943 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 𝑇 ℂ)
3217recnd 6943 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → B ℂ)
3331, 32mulcld 6937 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · B) ℂ)
3418recnd 6943 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → A ℂ)
3531, 34mulcld 6937 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · A) ℂ)
3633, 35, 34subadd23d 7232 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((𝑇 · B) − (𝑇 · A)) + A) = ((𝑇 · B) + (A − (𝑇 · A))))
3731, 32, 34subdid 7299 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · (BA)) = ((𝑇 · B) − (𝑇 · A)))
3837oveq1d 5473 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · (BA)) + A) = (((𝑇 · B) − (𝑇 · A)) + A))
39 resubcl 7163 . . . . . . . 8 ((1 𝑇 ℝ) → (1 − 𝑇) ℝ)
404, 8, 39sylancr 393 . . . . . . 7 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ℝ)
4140, 18remulcld 6945 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · A) ℝ)
4241recnd 6943 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · A) ℂ)
4342, 33addcomd 7053 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)) = ((𝑇 · B) + ((1 − 𝑇) · A)))
44 1cnd 6933 . . . . . . 7 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 1 ℂ)
4544, 31, 34subdird 7300 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · A) = ((1 · A) − (𝑇 · A)))
4634mulid2d 6935 . . . . . . 7 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (1 · A) = A)
4746oveq1d 5473 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 · A) − (𝑇 · A)) = (A − (𝑇 · A)))
4845, 47eqtrd 2072 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · A) = (A − (𝑇 · A)))
4948oveq2d 5474 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · B) + ((1 − 𝑇) · A)) = ((𝑇 · B) + (A − (𝑇 · A))))
5043, 49eqtrd 2072 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)) = ((𝑇 · B) + (A − (𝑇 · A))))
5136, 38, 503eqtr4d 2082 . 2 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · (BA)) + A) = (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)))
5234addid2d 7052 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (0 + A) = A)
5332, 34npcand 7214 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((BA) + A) = B)
5452, 53oveq12d 5476 . 2 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((0 + A)[,]((BA) + A)) = (A[,]B))
5530, 51, 543eltr3d 2120 1 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)) (A[,]B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 885   wcel 1393   class class class wbr 3758  (class class class)co 5458  cr 6778  0cc0 6779  1c1 6780   + caddc 6782   · cmul 6784   < clt 6949  cle 6950  cmin 7071  +crp 8450  [,]cicc 8622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3869  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223  ax-cnex 6865  ax-resscn 6866  ax-1cn 6867  ax-1re 6868  ax-icn 6869  ax-addcl 6870  ax-addrcl 6871  ax-mulcl 6872  ax-mulrcl 6873  ax-addcom 6874  ax-mulcom 6875  ax-addass 6876  ax-mulass 6877  ax-distr 6878  ax-i2m1 6879  ax-1rid 6881  ax-0id 6882  ax-rnegex 6883  ax-precex 6884  ax-cnre 6885  ax-pre-ltirr 6886  ax-pre-ltwlin 6887  ax-pre-lttrn 6888  ax-pre-ltadd 6890  ax-pre-mulgt0 6891
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-br 3759  df-opab 3813  df-id 4024  df-po 4027  df-iso 4028  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fv 4856  df-riota 5414  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-pnf 6951  df-mnf 6952  df-xr 6953  df-ltxr 6954  df-le 6955  df-sub 7073  df-neg 7074  df-rp 8451  df-icc 8626
This theorem is referenced by:  iccf1o  8734
  Copyright terms: Public domain W3C validator