Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lincmb01cmp Structured version   GIF version

Theorem lincmb01cmp 8641
 Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lincmb01cmp (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)) (A[,]B))

Proof of Theorem lincmb01cmp
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 𝑇 (0[,]1))
2 0re 6825 . . . . . . 7 0
32a1i 9 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 0 ℝ)
4 1re 6824 . . . . . . 7 1
54a1i 9 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 1 ℝ)
62, 4elicc2i 8578 . . . . . . . 8 (𝑇 (0[,]1) ↔ (𝑇 0 ≤ 𝑇 𝑇 ≤ 1))
76simp1bi 918 . . . . . . 7 (𝑇 (0[,]1) → 𝑇 ℝ)
87adantl 262 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 𝑇 ℝ)
9 difrp 8394 . . . . . . . 8 ((A B ℝ) → (A < B ↔ (BA) +))
109biimp3a 1234 . . . . . . 7 ((A B A < B) → (BA) +)
1110adantr 261 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (BA) +)
12 eqid 2037 . . . . . . 7 (0 · (BA)) = (0 · (BA))
13 eqid 2037 . . . . . . 7 (1 · (BA)) = (1 · (BA))
1412, 13iccdil 8636 . . . . . 6 (((0 1 ℝ) (𝑇 (BA) +)) → (𝑇 (0[,]1) ↔ (𝑇 · (BA)) ((0 · (BA))[,](1 · (BA)))))
153, 5, 8, 11, 14syl22anc 1135 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 (0[,]1) ↔ (𝑇 · (BA)) ((0 · (BA))[,](1 · (BA)))))
161, 15mpbid 135 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · (BA)) ((0 · (BA))[,](1 · (BA))))
17 simpl2 907 . . . . . . . 8 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → B ℝ)
18 simpl1 906 . . . . . . . 8 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → A ℝ)
1917, 18resubcld 7175 . . . . . . 7 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (BA) ℝ)
2019recnd 6851 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (BA) ℂ)
2120mul02d 7185 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (0 · (BA)) = 0)
2220mulid2d 6843 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (1 · (BA)) = (BA))
2321, 22oveq12d 5473 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((0 · (BA))[,](1 · (BA))) = (0[,](BA)))
2416, 23eleqtrd 2113 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · (BA)) (0[,](BA)))
258, 19remulcld 6853 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · (BA)) ℝ)
26 eqid 2037 . . . . 5 (0 + A) = (0 + A)
27 eqid 2037 . . . . 5 ((BA) + A) = ((BA) + A)
2826, 27iccshftr 8632 . . . 4 (((0 (BA) ℝ) ((𝑇 · (BA)) A ℝ)) → ((𝑇 · (BA)) (0[,](BA)) ↔ ((𝑇 · (BA)) + A) ((0 + A)[,]((BA) + A))))
293, 19, 25, 18, 28syl22anc 1135 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · (BA)) (0[,](BA)) ↔ ((𝑇 · (BA)) + A) ((0 + A)[,]((BA) + A))))
3024, 29mpbid 135 . 2 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · (BA)) + A) ((0 + A)[,]((BA) + A)))
318recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 𝑇 ℂ)
3217recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → B ℂ)
3331, 32mulcld 6845 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · B) ℂ)
3418recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → A ℂ)
3531, 34mulcld 6845 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · A) ℂ)
3633, 35, 34subadd23d 7140 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((𝑇 · B) − (𝑇 · A)) + A) = ((𝑇 · B) + (A − (𝑇 · A))))
3731, 32, 34subdid 7207 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (𝑇 · (BA)) = ((𝑇 · B) − (𝑇 · A)))
3837oveq1d 5470 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · (BA)) + A) = (((𝑇 · B) − (𝑇 · A)) + A))
39 resubcl 7071 . . . . . . . 8 ((1 𝑇 ℝ) → (1 − 𝑇) ℝ)
404, 8, 39sylancr 393 . . . . . . 7 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ℝ)
4140, 18remulcld 6853 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · A) ℝ)
4241recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · A) ℂ)
4342, 33addcomd 6961 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)) = ((𝑇 · B) + ((1 − 𝑇) · A)))
44 1cnd 6841 . . . . . . 7 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → 1 ℂ)
4544, 31, 34subdird 7208 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · A) = ((1 · A) − (𝑇 · A)))
4634mulid2d 6843 . . . . . . 7 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (1 · A) = A)
4746oveq1d 5470 . . . . . 6 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 · A) − (𝑇 · A)) = (A − (𝑇 · A)))
4845, 47eqtrd 2069 . . . . 5 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · A) = (A − (𝑇 · A)))
4948oveq2d 5471 . . . 4 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · B) + ((1 − 𝑇) · A)) = ((𝑇 · B) + (A − (𝑇 · A))))
5043, 49eqtrd 2069 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)) = ((𝑇 · B) + (A − (𝑇 · A))))
5136, 38, 503eqtr4d 2079 . 2 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((𝑇 · (BA)) + A) = (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)))
5234addid2d 6960 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (0 + A) = A)
5332, 34npcand 7122 . . 3 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((BA) + A) = B)
5452, 53oveq12d 5473 . 2 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → ((0 + A)[,]((BA) + A)) = (A[,]B))
5530, 51, 543eltr3d 2117 1 (((A B A < B) 𝑇 (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · A) + (𝑇 · B)) (A[,]B))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716   < clt 6857   ≤ cle 6858   − cmin 6979  ℝ+crp 8358  [,]cicc 8530 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-rp 8359  df-icc 8534 This theorem is referenced by:  iccf1o  8642
 Copyright terms: Public domain W3C validator