Theorem lincmb01cmp 8871

Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lincmb01cmp	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lincmb01cmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 103	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
2		0re 7027	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 0 ∈ ℝ)
4		1re 7026	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
6	2, 4	elicc2i 8808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
7	6	simp1bi 919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
8	7	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
9		difrp 8619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))
10	9	biimp3a 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)
12		eqid 2040	. . . . . . 7 ⊢ (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (0 · (𝐵 − 𝐴))
13		eqid 2040	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (1 · (𝐵 − 𝐴))
14	12, 13	iccdil 8866	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
15	3, 5, 8, 11, 14	syl22anc 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
16	1, 15	mpbid 135	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))))
17		simpl2 908	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18		simpl1 907	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 7379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	19	recnd 7054	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	mul02d 7389	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
22	20	mulid2d 7045	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
23	21, 22	oveq12d 5530	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))) = (0[,](𝐵 − 𝐴)))
24	16, 23	eleqtrd 2116	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,](𝐵 − 𝐴)))
25	8, 19	remulcld 7056	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
26		eqid 2040	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐴) = (0 + 𝐴)
27		eqid 2040	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴)
28	26, 27	iccshftr 8862	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,](𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))))
29	3, 19, 25, 18, 28	syl22anc 1136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,](𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))))
30	24, 29	mpbid 135	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ∈ ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴)))
31	8	recnd 7054	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
32	17	recnd 7054	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 7047	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
34	18	recnd 7054	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
35	31, 34	mulcld 7047	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
36	33, 35, 34	subadd23d 7344	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
37	31, 32, 34	subdid 7411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
38	37	oveq1d 5527	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) + 𝐴))
39		resubcl 7275	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
40	4, 8, 39	sylancr 393	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
41	40, 18	remulcld 7056	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℝ)
42	41	recnd 7054	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℂ)
43	42, 33	addcomd 7164	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)))
44		1cnd 7043	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
45	44, 31, 34	subdird 7412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
46	34	mulid2d 7045	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
47	46	oveq1d 5527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
48	45, 47	eqtrd 2072	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
49	48	oveq2d 5528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · 𝐵) + ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
50	43, 49	eqtrd 2072	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))))
51	36, 38, 50	3eqtr4d 2082	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
52	34	addid2d 7163	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
53	32, 34	npcand 7326	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
54	52, 53	oveq12d 5530	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((0 + 𝐴)[,]((𝐵 − 𝐴) + 𝐴)) = (𝐴[,]𝐵))
55	30, 51, 54	3eltr3d 2120	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   · cmul 6894   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182  ℝ⁺crp 8583  [,]cicc 8760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-rp 8584  df-icc 8764

This theorem is referenced by:  iccf1o  8872