ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cru Structured version   GIF version

Theorem cru 7346
Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cru (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (A = 𝐶 B = 𝐷)))

Proof of Theorem cru
StepHypRef Expression
1 simplrl 487 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ℝ)
21recnd 6811 . . . . . 6 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ℂ)
3 simplll 485 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → A ℝ)
43recnd 6811 . . . . . 6 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → A ℂ)
5 simpr 103 . . . . . . . 8 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
6 ax-icn 6738 . . . . . . . . . . 11 i
76a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → i ℂ)
8 simpllr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → B ℝ)
98recnd 6811 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → B ℂ)
107, 9mulcld 6805 . . . . . . . . 9 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · B) ℂ)
11 simplrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ℝ)
1211recnd 6811 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ℂ)
137, 12mulcld 6805 . . . . . . . . 9 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐷) ℂ)
144, 10, 2, 13addsubeq4d 7129 . . . . . . . 8 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐶A) = ((i · B) − (i · 𝐷))))
155, 14mpbid 135 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶A) = ((i · B) − (i · 𝐷)))
168, 11resubcld 7135 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (B𝐷) ℝ)
177, 9, 12subdid 7167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (B𝐷)) = ((i · B) − (i · 𝐷)))
1817, 15eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . . 12 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (B𝐷)) = (𝐶A))
191, 3resubcld 7135 . . . . . . . . . . . 12 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶A) ℝ)
2018, 19eqeltrd 2111 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (B𝐷)) ℝ)
21 rimul 7329 . . . . . . . . . . 11 (((B𝐷) (i · (B𝐷)) ℝ) → (B𝐷) = 0)
2216, 20, 21syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (B𝐷) = 0)
239, 12, 22subeq0d 7086 . . . . . . . . 9 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → B = 𝐷)
2423oveq2d 5471 . . . . . . . 8 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · B) = (i · 𝐷))
2524oveq1d 5470 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · B) − (i · 𝐷)) = ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)))
2613subidd 7066 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)) = 0)
2715, 25, 263eqtrd 2073 . . . . . 6 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶A) = 0)
282, 4, 27subeq0d 7086 . . . . 5 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 = A)
2928eqcomd 2042 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → A = 𝐶)
3029, 23jca 290 . . 3 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (A = 𝐶 B = 𝐷))
3130ex 108 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (A = 𝐶 B = 𝐷)))
32 oveq2 5463 . . 3 (B = 𝐷 → (i · B) = (i · 𝐷))
33 oveq12 5464 . . 3 ((A = 𝐶 (i · B) = (i · 𝐷)) → (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
3432, 33sylan2 270 . 2 ((A = 𝐶 B = 𝐷) → (A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
3531, 34impbid1 130 1 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (A = 𝐶 B = 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319
This theorem is referenced by:  apreim  7347  apti  7366  creur  7652  creui  7653  cnref1o  8317
  Copyright terms: Public domain W3C validator