Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnref1o GIF version

Theorem cnref1o 8357
 Description: There is a natural one-to-one mapping from (ℝ × ℝ) to ℂ, where we map ⟨x, y⟩ to (x + (i · y)). In our construction of the complex numbers, this is in fact our definition of ℂ (see df-c 6717), but in the axiomatic treatment we can only show that there is the expected mapping between these two sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnref1o.1 𝐹 = (x ℝ, y ℝ ↦ (x + (i · y)))
Assertion
Ref Expression
cnref1o 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
Distinct variable group:   x,y
Allowed substitution hints:   𝐹(x,y)

Proof of Theorem cnref1o
Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . . . . . 8 ((x y ℝ) → x ℝ)
21recnd 6851 . . . . . . 7 ((x y ℝ) → x ℂ)
3 ax-icn 6778 . . . . . . . . 9 i
43a1i 9 . . . . . . . 8 ((x y ℝ) → i ℂ)
5 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((x y ℝ) → y ℝ)
65recnd 6851 . . . . . . . 8 ((x y ℝ) → y ℂ)
74, 6mulcld 6845 . . . . . . 7 ((x y ℝ) → (i · y) ℂ)
82, 7addcld 6844 . . . . . 6 ((x y ℝ) → (x + (i · y)) ℂ)
98rgen2a 2369 . . . . 5 x y ℝ (x + (i · y))
10 cnref1o.1 . . . . . 6 𝐹 = (x ℝ, y ℝ ↦ (x + (i · y)))
1110fnmpt2 5770 . . . . 5 (x y ℝ (x + (i · y)) ℂ → 𝐹 Fn (ℝ × ℝ))
129, 11ax-mp 7 . . . 4 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
13 1st2nd2 5743 . . . . . . . . 9 (z (ℝ × ℝ) → z = ⟨(1stz), (2ndz)⟩)
1413fveq2d 5125 . . . . . . . 8 (z (ℝ × ℝ) → (𝐹z) = (𝐹‘⟨(1stz), (2ndz)⟩))
15 df-ov 5458 . . . . . . . 8 ((1stz)𝐹(2ndz)) = (𝐹‘⟨(1stz), (2ndz)⟩)
1614, 15syl6eqr 2087 . . . . . . 7 (z (ℝ × ℝ) → (𝐹z) = ((1stz)𝐹(2ndz)))
17 xp1st 5734 . . . . . . . 8 (z (ℝ × ℝ) → (1stz) ℝ)
18 xp2nd 5735 . . . . . . . 8 (z (ℝ × ℝ) → (2ndz) ℝ)
1917recnd 6851 . . . . . . . . 9 (z (ℝ × ℝ) → (1stz) ℂ)
203a1i 9 . . . . . . . . . 10 (z (ℝ × ℝ) → i ℂ)
2118recnd 6851 . . . . . . . . . 10 (z (ℝ × ℝ) → (2ndz) ℂ)
2220, 21mulcld 6845 . . . . . . . . 9 (z (ℝ × ℝ) → (i · (2ndz)) ℂ)
2319, 22addcld 6844 . . . . . . . 8 (z (ℝ × ℝ) → ((1stz) + (i · (2ndz))) ℂ)
24 oveq1 5462 . . . . . . . . 9 (x = (1stz) → (x + (i · y)) = ((1stz) + (i · y)))
25 oveq2 5463 . . . . . . . . . 10 (y = (2ndz) → (i · y) = (i · (2ndz)))
2625oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (y = (2ndz) → ((1stz) + (i · y)) = ((1stz) + (i · (2ndz))))
2724, 26, 10ovmpt2g 5577 . . . . . . . 8 (((1stz) (2ndz) ((1stz) + (i · (2ndz))) ℂ) → ((1stz)𝐹(2ndz)) = ((1stz) + (i · (2ndz))))
2817, 18, 23, 27syl3anc 1134 . . . . . . 7 (z (ℝ × ℝ) → ((1stz)𝐹(2ndz)) = ((1stz) + (i · (2ndz))))
2916, 28eqtrd 2069 . . . . . 6 (z (ℝ × ℝ) → (𝐹z) = ((1stz) + (i · (2ndz))))
3029, 23eqeltrd 2111 . . . . 5 (z (ℝ × ℝ) → (𝐹z) ℂ)
3130rgen 2368 . . . 4 z (ℝ × ℝ)(𝐹z)
32 ffnfv 5266 . . . 4 (𝐹:(ℝ × ℝ)⟶ℂ ↔ (𝐹 Fn (ℝ × ℝ) z (ℝ × ℝ)(𝐹z) ℂ))
3312, 31, 32mpbir2an 848 . . 3 𝐹:(ℝ × ℝ)⟶ℂ
3417, 18jca 290 . . . . . . 7 (z (ℝ × ℝ) → ((1stz) (2ndz) ℝ))
35 xp1st 5734 . . . . . . . 8 (w (ℝ × ℝ) → (1stw) ℝ)
36 xp2nd 5735 . . . . . . . 8 (w (ℝ × ℝ) → (2ndw) ℝ)
3735, 36jca 290 . . . . . . 7 (w (ℝ × ℝ) → ((1stw) (2ndw) ℝ))
38 cru 7386 . . . . . . 7 ((((1stz) (2ndz) ℝ) ((1stw) (2ndw) ℝ)) → (((1stz) + (i · (2ndz))) = ((1stw) + (i · (2ndw))) ↔ ((1stz) = (1stw) (2ndz) = (2ndw))))
3934, 37, 38syl2an 273 . . . . . 6 ((z (ℝ × ℝ) w (ℝ × ℝ)) → (((1stz) + (i · (2ndz))) = ((1stw) + (i · (2ndw))) ↔ ((1stz) = (1stw) (2ndz) = (2ndw))))
40 fveq2 5121 . . . . . . . . 9 (z = w → (𝐹z) = (𝐹w))
41 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10 (z = w → (1stz) = (1stw))
42 fveq2 5121 . . . . . . . . . . 11 (z = w → (2ndz) = (2ndw))
4342oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (z = w → (i · (2ndz)) = (i · (2ndw)))
4441, 43oveq12d 5473 . . . . . . . . 9 (z = w → ((1stz) + (i · (2ndz))) = ((1stw) + (i · (2ndw))))
4540, 44eqeq12d 2051 . . . . . . . 8 (z = w → ((𝐹z) = ((1stz) + (i · (2ndz))) ↔ (𝐹w) = ((1stw) + (i · (2ndw)))))
4645, 29vtoclga 2613 . . . . . . 7 (w (ℝ × ℝ) → (𝐹w) = ((1stw) + (i · (2ndw))))
4729, 46eqeqan12d 2052 . . . . . 6 ((z (ℝ × ℝ) w (ℝ × ℝ)) → ((𝐹z) = (𝐹w) ↔ ((1stz) + (i · (2ndz))) = ((1stw) + (i · (2ndw)))))
48 1st2nd2 5743 . . . . . . . 8 (w (ℝ × ℝ) → w = ⟨(1stw), (2ndw)⟩)
4913, 48eqeqan12d 2052 . . . . . . 7 ((z (ℝ × ℝ) w (ℝ × ℝ)) → (z = w ↔ ⟨(1stz), (2ndz)⟩ = ⟨(1stw), (2ndw)⟩))
50 vex 2554 . . . . . . . . 9 z V
51 1stexg 5736 . . . . . . . . 9 (z V → (1stz) V)
5250, 51ax-mp 7 . . . . . . . 8 (1stz) V
53 2ndexg 5737 . . . . . . . . 9 (z V → (2ndz) V)
5450, 53ax-mp 7 . . . . . . . 8 (2ndz) V
5552, 54opth 3965 . . . . . . 7 (⟨(1stz), (2ndz)⟩ = ⟨(1stw), (2ndw)⟩ ↔ ((1stz) = (1stw) (2ndz) = (2ndw)))
5649, 55syl6bb 185 . . . . . 6 ((z (ℝ × ℝ) w (ℝ × ℝ)) → (z = w ↔ ((1stz) = (1stw) (2ndz) = (2ndw))))
5739, 47, 563bitr4d 209 . . . . 5 ((z (ℝ × ℝ) w (ℝ × ℝ)) → ((𝐹z) = (𝐹w) ↔ z = w))
5857biimpd 132 . . . 4 ((z (ℝ × ℝ) w (ℝ × ℝ)) → ((𝐹z) = (𝐹w) → z = w))
5958rgen2a 2369 . . 3 z (ℝ × ℝ)w (ℝ × ℝ)((𝐹z) = (𝐹w) → z = w)
60 dff13 5350 . . 3 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1→ℂ ↔ (𝐹:(ℝ × ℝ)⟶ℂ z (ℝ × ℝ)w (ℝ × ℝ)((𝐹z) = (𝐹w) → z = w)))
6133, 59, 60mpbir2an 848 . 2 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1→ℂ
62 cnre 6821 . . . . . 6 (w ℂ → u v w = (u + (i · v)))
63 simpl 102 . . . . . . . . 9 ((u v ℝ) → u ℝ)
64 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((u v ℝ) → v ℝ)
6563recnd 6851 . . . . . . . . . 10 ((u v ℝ) → u ℂ)
663a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((u v ℝ) → i ℂ)
6764recnd 6851 . . . . . . . . . . 11 ((u v ℝ) → v ℂ)
6866, 67mulcld 6845 . . . . . . . . . 10 ((u v ℝ) → (i · v) ℂ)
6965, 68addcld 6844 . . . . . . . . 9 ((u v ℝ) → (u + (i · v)) ℂ)
70 oveq1 5462 . . . . . . . . . 10 (x = u → (x + (i · y)) = (u + (i · y)))
71 oveq2 5463 . . . . . . . . . . 11 (y = v → (i · y) = (i · v))
7271oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (y = v → (u + (i · y)) = (u + (i · v)))
7370, 72, 10ovmpt2g 5577 . . . . . . . . 9 ((u v (u + (i · v)) ℂ) → (u𝐹v) = (u + (i · v)))
7463, 64, 69, 73syl3anc 1134 . . . . . . . 8 ((u v ℝ) → (u𝐹v) = (u + (i · v)))
7574eqeq2d 2048 . . . . . . 7 ((u v ℝ) → (w = (u𝐹v) ↔ w = (u + (i · v))))
76752rexbiia 2334 . . . . . 6 (u v w = (u𝐹v) ↔ u v w = (u + (i · v)))
7762, 76sylibr 137 . . . . 5 (w ℂ → u v w = (u𝐹v))
78 fveq2 5121 . . . . . . . 8 (z = ⟨u, v⟩ → (𝐹z) = (𝐹‘⟨u, v⟩))
79 df-ov 5458 . . . . . . . 8 (u𝐹v) = (𝐹‘⟨u, v⟩)
8078, 79syl6eqr 2087 . . . . . . 7 (z = ⟨u, v⟩ → (𝐹z) = (u𝐹v))
8180eqeq2d 2048 . . . . . 6 (z = ⟨u, v⟩ → (w = (𝐹z) ↔ w = (u𝐹v)))
8281rexxp 4423 . . . . 5 (z (ℝ × ℝ)w = (𝐹z) ↔ u v w = (u𝐹v))
8377, 82sylibr 137 . . . 4 (w ℂ → z (ℝ × ℝ)w = (𝐹z))
8483rgen 2368 . . 3 w z (ℝ × ℝ)w = (𝐹z)
85 dffo3 5257 . . 3 (𝐹:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ ↔ (𝐹:(ℝ × ℝ)⟶ℂ w z (ℝ × ℝ)w = (𝐹z)))
8633, 84, 85mpbir2an 848 . 2 𝐹:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ
87 df-f1o 4852 . 2 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ↔ (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1→ℂ 𝐹:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ))
8861, 86, 87mpbir2an 848 1 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  Vcvv 2551  ⟨cop 3370   × cxp 4286   Fn wfn 4840  ⟶wf 4841  –1-1→wf1 4842  –onto→wfo 4843  –1-1-onto→wf1o 4844  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   ↦ cmpt2 5457  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  ℂcc 6709  ℝcr 6710  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359 This theorem is referenced by:  cnrecnv  9138
 Copyright terms: Public domain W3C validator