ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zneo Structured version   GIF version

Theorem zneo 8064
Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zneo ((A B ℤ) → (2 · A) ≠ ((2 · B) + 1))

Proof of Theorem zneo
StepHypRef Expression
1 halfnz 8061 . . 3 ¬ (1 / 2)
2 2cn 7717 . . . . . . 7 2
3 zcn 7976 . . . . . . . 8 (A ℤ → A ℂ)
43adantr 261 . . . . . . 7 ((A B ℤ) → A ℂ)
5 mulcl 6758 . . . . . . 7 ((2 A ℂ) → (2 · A) ℂ)
62, 4, 5sylancr 393 . . . . . 6 ((A B ℤ) → (2 · A) ℂ)
7 zcn 7976 . . . . . . . 8 (B ℤ → B ℂ)
87adantl 262 . . . . . . 7 ((A B ℤ) → B ℂ)
9 mulcl 6758 . . . . . . 7 ((2 B ℂ) → (2 · B) ℂ)
102, 8, 9sylancr 393 . . . . . 6 ((A B ℤ) → (2 · B) ℂ)
11 1cnd 6793 . . . . . 6 ((A B ℤ) → 1 ℂ)
126, 10, 11subaddd 7088 . . . . 5 ((A B ℤ) → (((2 · A) − (2 · B)) = 1 ↔ ((2 · B) + 1) = (2 · A)))
132a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((A B ℤ) → 2 ℂ)
1413, 4, 8subdid 7159 . . . . . . . . 9 ((A B ℤ) → (2 · (AB)) = ((2 · A) − (2 · B)))
1514oveq1d 5467 . . . . . . . 8 ((A B ℤ) → ((2 · (AB)) / 2) = (((2 · A) − (2 · B)) / 2))
16 zsubcl 8012 . . . . . . . . . 10 ((A B ℤ) → (AB) ℤ)
17 zcn 7976 . . . . . . . . . 10 ((AB) ℤ → (AB) ℂ)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9 ((A B ℤ) → (AB) ℂ)
19 2ap0 7740 . . . . . . . . . 10 2 # 0
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 ((A B ℤ) → 2 # 0)
2118, 13, 20divcanap3d 7504 . . . . . . . 8 ((A B ℤ) → ((2 · (AB)) / 2) = (AB))
2215, 21eqtr3d 2071 . . . . . . 7 ((A B ℤ) → (((2 · A) − (2 · B)) / 2) = (AB))
2322, 16eqeltrd 2111 . . . . . 6 ((A B ℤ) → (((2 · A) − (2 · B)) / 2) ℤ)
24 oveq1 5459 . . . . . . 7 (((2 · A) − (2 · B)) = 1 → (((2 · A) − (2 · B)) / 2) = (1 / 2))
2524eleq1d 2103 . . . . . 6 (((2 · A) − (2 · B)) = 1 → ((((2 · A) − (2 · B)) / 2) ℤ ↔ (1 / 2) ℤ))
2623, 25syl5ibcom 144 . . . . 5 ((A B ℤ) → (((2 · A) − (2 · B)) = 1 → (1 / 2) ℤ))
2712, 26sylbird 159 . . . 4 ((A B ℤ) → (((2 · B) + 1) = (2 · A) → (1 / 2) ℤ))
2827necon3bd 2242 . . 3 ((A B ℤ) → (¬ (1 / 2) ℤ → ((2 · B) + 1) ≠ (2 · A)))
291, 28mpi 15 . 2 ((A B ℤ) → ((2 · B) + 1) ≠ (2 · A))
3029necomd 2285 1 ((A B ℤ) → (2 · A) ≠ ((2 · B) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  cc 6661  0cc0 6663  1c1 6664   + caddc 6666   · cmul 6668  cmin 6931   # cap 7317   / cdiv 7385  2c2 7695  cz 7971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752  ax-pre-mulext 6753
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311  df-ap 7318  df-div 7386  df-inn 7647  df-2 7704  df-n0 7908  df-z 7972
This theorem is referenced by:  nneo  8066  zeo2  8069
  Copyright terms: Public domain W3C validator