ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zneo Structured version   GIF version

Theorem zneo 8115
Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zneo ((A B ℤ) → (2 · A) ≠ ((2 · B) + 1))

Proof of Theorem zneo
StepHypRef Expression
1 halfnz 8112 . . 3 ¬ (1 / 2)
2 2cn 7766 . . . . . . 7 2
3 zcn 8026 . . . . . . . 8 (A ℤ → A ℂ)
43adantr 261 . . . . . . 7 ((A B ℤ) → A ℂ)
5 mulcl 6806 . . . . . . 7 ((2 A ℂ) → (2 · A) ℂ)
62, 4, 5sylancr 393 . . . . . 6 ((A B ℤ) → (2 · A) ℂ)
7 zcn 8026 . . . . . . . 8 (B ℤ → B ℂ)
87adantl 262 . . . . . . 7 ((A B ℤ) → B ℂ)
9 mulcl 6806 . . . . . . 7 ((2 B ℂ) → (2 · B) ℂ)
102, 8, 9sylancr 393 . . . . . 6 ((A B ℤ) → (2 · B) ℂ)
11 1cnd 6841 . . . . . 6 ((A B ℤ) → 1 ℂ)
126, 10, 11subaddd 7136 . . . . 5 ((A B ℤ) → (((2 · A) − (2 · B)) = 1 ↔ ((2 · B) + 1) = (2 · A)))
132a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((A B ℤ) → 2 ℂ)
1413, 4, 8subdid 7207 . . . . . . . . 9 ((A B ℤ) → (2 · (AB)) = ((2 · A) − (2 · B)))
1514oveq1d 5470 . . . . . . . 8 ((A B ℤ) → ((2 · (AB)) / 2) = (((2 · A) − (2 · B)) / 2))
16 zsubcl 8062 . . . . . . . . . 10 ((A B ℤ) → (AB) ℤ)
17 zcn 8026 . . . . . . . . . 10 ((AB) ℤ → (AB) ℂ)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9 ((A B ℤ) → (AB) ℂ)
19 2ap0 7789 . . . . . . . . . 10 2 # 0
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 ((A B ℤ) → 2 # 0)
2118, 13, 20divcanap3d 7552 . . . . . . . 8 ((A B ℤ) → ((2 · (AB)) / 2) = (AB))
2215, 21eqtr3d 2071 . . . . . . 7 ((A B ℤ) → (((2 · A) − (2 · B)) / 2) = (AB))
2322, 16eqeltrd 2111 . . . . . 6 ((A B ℤ) → (((2 · A) − (2 · B)) / 2) ℤ)
24 oveq1 5462 . . . . . . 7 (((2 · A) − (2 · B)) = 1 → (((2 · A) − (2 · B)) / 2) = (1 / 2))
2524eleq1d 2103 . . . . . 6 (((2 · A) − (2 · B)) = 1 → ((((2 · A) − (2 · B)) / 2) ℤ ↔ (1 / 2) ℤ))
2623, 25syl5ibcom 144 . . . . 5 ((A B ℤ) → (((2 · A) − (2 · B)) = 1 → (1 / 2) ℤ))
2712, 26sylbird 159 . . . 4 ((A B ℤ) → (((2 · B) + 1) = (2 · A) → (1 / 2) ℤ))
2827necon3bd 2242 . . 3 ((A B ℤ) → (¬ (1 / 2) ℤ → ((2 · B) + 1) ≠ (2 · A)))
291, 28mpi 15 . 2 ((A B ℤ) → ((2 · B) + 1) ≠ (2 · A))
3029necomd 2285 1 ((A B ℤ) → (2 · A) ≠ ((2 · B) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716  cmin 6979   # cap 7365   / cdiv 7433  2c2 7744  cz 8021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-2 7753  df-n0 7958  df-z 8022
This theorem is referenced by:  nneo  8117  zeo2  8120
  Copyright terms: Public domain W3C validator