ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zneo GIF version

Theorem zneo 8337
Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zneo ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))

Proof of Theorem zneo
StepHypRef Expression
1 halfnz 8334 . . 3 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 2cn 7984 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
3 zcn 8248 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 261 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 mulcl 7006 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
62, 4, 5sylancr 393 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7 zcn 8248 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
87adantl 262 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 mulcl 7006 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
102, 8, 9sylancr 393 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
11 1cnd 7041 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
126, 10, 11subaddd 7338 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 ↔ ((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴)))
132a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
1413, 4, 8subdid 7409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · (𝐴𝐵)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)))
1514oveq1d 5527 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴𝐵)) / 2) = (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2))
16 zsubcl 8284 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
17 zcn 8248 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
19 2ap0 8007 . . . . . . . . . 10 2 # 0
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 # 0)
2118, 13, 20divcanap3d 7768 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴𝐵)) / 2) = (𝐴𝐵))
2215, 21eqtr3d 2074 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (𝐴𝐵))
2322, 16eqeltrd 2114 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ)
24 oveq1 5519 . . . . . . 7 (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (1 / 2))
2524eleq1d 2106 . . . . . 6 (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → ((((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
2623, 25syl5ibcom 144 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
2712, 26sylbird 159 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴) → (1 / 2) ∈ ℤ))
2827necon3bd 2248 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴)))
291, 28mpi 15 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴))
3029necomd 2291 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wne 2204   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cc 6885  0cc0 6887  1c1 6888   + caddc 6890   · cmul 6892  cmin 7180   # cap 7570   / cdiv 7649  2c2 7962  cz 8243
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-inn 7913  df-2 7971  df-n0 8180  df-z 8244
This theorem is referenced by:  nneo  8339  zeo2  8342
  Copyright terms: Public domain W3C validator