Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nneoor Structured version   GIF version

Theorem nneoor 8116
 Description: A positive integer is even or odd. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
nneoor (𝑁 ℕ → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℕ))

Proof of Theorem nneoor
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5462 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
21oveq1d 5470 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
32eleq1d 2103 . . . 4 (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ℕ))
4 oveq1 5462 . . . . 5 (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
54eleq1d 2103 . . . 4 (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ℕ ↔ (1 / 2) ℕ))
63, 5orbi12d 706 . . 3 (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) (𝑗 / 2) ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) (1 / 2) ℕ)))
7 oveq1 5462 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
87oveq1d 5470 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
98eleq1d 2103 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ℕ))
10 oveq1 5462 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
1110eleq1d 2103 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ℕ ↔ (𝑘 / 2) ℕ))
129, 11orbi12d 706 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) (𝑗 / 2) ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) (𝑘 / 2) ℕ)))
13 oveq1 5462 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
1413oveq1d 5470 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
1514eleq1d 2103 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ℕ))
16 oveq1 5462 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
1716eleq1d 2103 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ℕ))
1815, 17orbi12d 706 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) (𝑗 / 2) ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ((𝑘 + 1) / 2) ℕ)))
19 oveq1 5462 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
2019oveq1d 5470 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
2120eleq1d 2103 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ℕ))
22 oveq1 5462 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
2322eleq1d 2103 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ℕ ↔ (𝑁 / 2) ℕ))
2421, 23orbi12d 706 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) (𝑗 / 2) ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) (𝑁 / 2) ℕ)))
25 df-2 7753 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
2625oveq1i 5465 . . . . . 6 (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
27 2div2e1 7820 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
2826, 27eqtr3i 2059 . . . . 5 ((1 + 1) / 2) = 1
29 1nn 7706 . . . . 5 1
3028, 29eqeltri 2107 . . . 4 ((1 + 1) / 2)
3130orci 649 . . 3 (((1 + 1) / 2) (1 / 2) ℕ)
32 peano2nn 7707 . . . . . 6 ((𝑘 / 2) ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ℕ)
33 nncn 7703 . . . . . . . 8 (𝑘 ℕ → 𝑘 ℂ)
34 add1p1 7951 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
3534oveq1d 5470 . . . . . . . . 9 (𝑘 ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
36 2cn 7766 . . . . . . . . . . 11 2
37 2ap0 7789 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
3836, 37pm3.2i 257 . . . . . . . . . . 11 (2 2 # 0)
39 divdirap 7456 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 2 (2 2 # 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
4036, 38, 39mp3an23 1223 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
4127oveq2i 5466 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
4240, 41syl6eq 2085 . . . . . . . . 9 (𝑘 ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
4335, 42eqtrd 2069 . . . . . . . 8 (𝑘 ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
4433, 43syl 14 . . . . . . 7 (𝑘 ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
4544eleq1d 2103 . . . . . 6 (𝑘 ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ℕ))
4632, 45syl5ibr 145 . . . . 5 (𝑘 ℕ → ((𝑘 / 2) ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ℕ))
4746orim2d 701 . . . 4 (𝑘 ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) (𝑘 / 2) ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ℕ)))
48 orcom 646 . . . 4 ((((𝑘 + 1) / 2) (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ((𝑘 + 1) / 2) ℕ))
4947, 48syl6ib 150 . . 3 (𝑘 ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) (𝑘 / 2) ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ((𝑘 + 1) / 2) ℕ)))
506, 12, 18, 24, 31, 49nnind 7711 . 2 (𝑁 ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) (𝑁 / 2) ℕ))
5150orcomd 647 1 (𝑁 ℕ → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℕ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   # cap 7365   / cdiv 7433  ℕcn 7695  2c2 7744 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-2 7753 This theorem is referenced by:  nneo  8117  zeo  8119
 Copyright terms: Public domain W3C validator