ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zeo Structured version   GIF version

Theorem zeo 8079
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo (𝑁 ℤ → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 7983 . 2 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ)))
2 oveq1 5462 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3 2cn 7726 . . . . . . . 8 2
4 2ap0 7749 . . . . . . . 8 2 # 0
53, 4div0api 7464 . . . . . . 7 (0 / 2) = 0
6 0z 7992 . . . . . . 7 0
75, 6eqeltri 2107 . . . . . 6 (0 / 2)
82, 7syl6eqel 2125 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ℤ)
98orcd 651 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
109adantl 262 . . 3 ((𝑁 𝑁 = 0) → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
11 nneoor 8076 . . . . 5 (𝑁 ℕ → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℕ))
12 nnz 8000 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ℕ → (𝑁 / 2) ℤ)
13 nnz 8000 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ℤ)
1412, 13orim12i 675 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℕ) → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
1511, 14syl 14 . . . 4 (𝑁 ℕ → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
1615adantl 262 . . 3 ((𝑁 𝑁 ℕ) → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
17 nneoor 8076 . . . . 5 (-𝑁 ℕ → ((-𝑁 / 2) ((-𝑁 + 1) / 2) ℕ))
1817adantl 262 . . . 4 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → ((-𝑁 / 2) ((-𝑁 + 1) / 2) ℕ))
19 recn 6772 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ℝ → 𝑁 ℂ)
20 divnegap 7425 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 2 2 # 0) → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
213, 4, 20mp3an23 1223 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ℂ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
2219, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℝ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
2322eleq1d 2103 . . . . . . . 8 (𝑁 ℝ → (-(𝑁 / 2) ℕ ↔ (-𝑁 / 2) ℕ))
24 nnnegz 7984 . . . . . . . 8 (-(𝑁 / 2) ℕ → --(𝑁 / 2) ℤ)
2523, 24syl6bir 153 . . . . . . 7 (𝑁 ℝ → ((-𝑁 / 2) ℕ → --(𝑁 / 2) ℤ))
2619halfcld 7906 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℝ → (𝑁 / 2) ℂ)
2726negnegd 7069 . . . . . . . 8 (𝑁 ℝ → --(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
2827eleq1d 2103 . . . . . . 7 (𝑁 ℝ → (--(𝑁 / 2) ℤ ↔ (𝑁 / 2) ℤ))
2925, 28sylibd 138 . . . . . 6 (𝑁 ℝ → ((-𝑁 / 2) ℕ → (𝑁 / 2) ℤ))
30 nnz 8000 . . . . . . 7 (((-𝑁 + 1) / 2) ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ℤ)
31 peano2zm 8019 . . . . . . . . . 10 (((-𝑁 + 1) / 2) ℤ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ℤ)
32 ax-1cn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1
3332, 3negsubdi2i 7053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(1 − 2) = (2 − 1)
34 2m1e1 7772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 − 1) = 1
3533, 34eqtr2i 2058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = -(1 − 2)
3632, 3subcli 7043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 − 2)
3732, 36negcon2i 7050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
3835, 37mpbi 133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 2) = -1
3938oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑁 + (1 − 2)) = (-𝑁 + -1)
40 negcl 6968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ℂ → -𝑁 ℂ)
41 addsubass 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑁 1 2 ℂ) → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
4232, 3, 41mp3an23 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑁 ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
4340, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
44 negdi 7024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 1 ℂ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
4532, 44mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ℂ → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
4639, 43, 453eqtr4a 2095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
4746oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
48 peano2cn 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑁 ℂ → (-𝑁 + 1) ℂ)
4940, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ℂ → (-𝑁 + 1) ℂ)
503, 4pm3.2i 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 2 # 0)
51 divsubdirap 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-𝑁 + 1) 2 (2 2 # 0)) → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
523, 50, 51mp3an23 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑁 + 1) ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
5349, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
54 2div2e1 7780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 / 2) = 1
5554eqcomi 2041 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (2 / 2)
5655oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
5753, 56syl6reqr 2088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) − 2) / 2))
58 peano2cn 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ℂ → (𝑁 + 1) ℂ)
59 divnegap 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 + 1) 2 2 # 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
603, 4, 59mp3an23 1223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
6158, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
6247, 57, 613eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
6319, 62syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
6463eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ℝ → ((((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
6531, 64syl5ib 143 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
66 znegcl 8012 . . . . . . . . 9 (-((𝑁 + 1) / 2) ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ℤ)
6765, 66syl6 29 . . . . . . . 8 (𝑁 ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
68 peano2re 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ℝ → (𝑁 + 1) ℝ)
6968recnd 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ℝ → (𝑁 + 1) ℂ)
7069halfcld 7906 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ℂ)
7170negnegd 7069 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℝ → --((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
7271eleq1d 2103 . . . . . . . 8 (𝑁 ℝ → (--((𝑁 + 1) / 2) ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
7367, 72sylibd 138 . . . . . . 7 (𝑁 ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
7430, 73syl5 28 . . . . . 6 (𝑁 ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
7529, 74orim12d 699 . . . . 5 (𝑁 ℝ → (((-𝑁 / 2) ((-𝑁 + 1) / 2) ℕ) → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ)))
7675adantr 261 . . . 4 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (((-𝑁 / 2) ((-𝑁 + 1) / 2) ℕ) → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ)))
7718, 76mpd 13 . . 3 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
7810, 16, 773jaodan 1200 . 2 ((𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
791, 78sylbi 114 1 (𝑁 ℤ → ((𝑁 / 2) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 628   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674  cmin 6939  -cneg 6940   # cap 7325   / cdiv 7393  cn 7655  2c2 7704  cz 7981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-2 7713  df-n0 7918  df-z 7982
This theorem is referenced by:  zeo2  8080
  Copyright terms: Public domain W3C validator