Theorem cju 7911

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cju

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7021	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2		recn 7012	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3		ax-icn 6977	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 7012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5		mulcl 7006	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
7		subcl 7208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℂ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
9	2	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10	6	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
11	9, 10, 9	ppncand 7360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) = (𝑦 + 𝑦))
12		readdcl 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
13	12	anidms 377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
14	13	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
15	11, 14	eqeltrd 2114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ)
16	9, 10, 10	pnncand 7359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
17	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
18	4	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19	17, 18, 18	adddid 7049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · (𝑧 + 𝑧)) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
20	16, 19	eqtr4d 2075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = (i · (𝑧 + 𝑧)))
21	20	oveq2d 5528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
22	18, 18	addcld 7044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ)
23		mulass 7010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
24	3, 3, 23	mp3an12 1222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
26	21, 25	eqtr4d 2075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)))
27		ixi 7572	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
28		1re 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	28	renegcli 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
30	27, 29	eqeltri 2110	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
31		simpr 103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
32	31, 31	readdcld 7053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ)
33		remulcl 7007	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
34	30, 32, 33	sylancr 393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
35	26, 34	eqeltrd 2114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)
36		oveq2 5520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))))
37	36	eleq1d 2106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ))
38		oveq2 5520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))))
39	38	oveq2d 5528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))))
40	39	eleq1d 2106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ))
41	37, 40	anbi12d 442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)))
42	41	rspcev 2656	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
44		oveq1 5519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥))
45	44	eleq1d 2106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ))
46		oveq1 5519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥))
47	46	oveq2d 5528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)))
48	47	eleq1d 2106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
49	45, 48	anbi12d 442	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
50	49	rexbidv 2327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
51	43, 50	syl5ibrcom 146	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
52	51	rexlimivv 2438	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
53	1, 52	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
54		an4 520	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) ↔ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
55		resubcl 7273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ)
56		pnpcan 7248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
57	56	3expb 1105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
58	57	eleq1d 2106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
59	55, 58	syl5ib 143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
60		resubcl 7273	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
61	60	ancoms 255	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
62	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ ℂ)
63		subcl 7208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
64	63	adantrl 447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
65		subcl 7208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
66	65	adantrr 448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
67	62, 64, 66	subdid 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))))
68		nnncan1 7245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
69	68	3com23 1110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
70	69	3expb 1105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
71	70	oveq2d 5528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
72	67, 71	eqtr3d 2074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
73	72	eleq1d 2106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ ↔ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
74	61, 73	syl5ib 143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
75	59, 74	anim12d 318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
76		rimul 7574	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0)
77	76	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0))
78		subeq0 7235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
79	78	biimpd 132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
80	79	adantl 262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
81	75, 77, 80	3syld 51	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
82	54, 81	syl5bi 141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
83	82	ralrimivva 2401	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
84		oveq2 5520	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
85	84	eleq1d 2106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ))
86		oveq2 5520	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
87	86	oveq2d 5528	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − 𝑦)))
88	87	eleq1d 2106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ))
89	85, 88	anbi12d 442	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
90	89	reu4 2735	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦)))
91	53, 83, 90	sylanbrc 394	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ∃wrex 2307  ∃!wreu 2308  (class class class)co 5512  ℂcc 6885  ℝcr 6886  0cc0 6887  1c1 6888  ici 6889   + caddc 6890   · cmul 6892   − cmin 7180  -cneg 7181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-ltxr 7063  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564

This theorem is referenced by:  cjval  9419  cjth  9420  cjf  9421  remim  9434