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Theorem cju 7654
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju (A ℂ → ∃!x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ))
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem cju
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6781 . . 3 (A ℂ → y z A = (y + (i · z)))
2 recn 6772 . . . . . . 7 (y ℝ → y ℂ)
3 ax-icn 6738 . . . . . . . 8 i
4 recn 6772 . . . . . . . 8 (z ℝ → z ℂ)
5 mulcl 6766 . . . . . . . 8 ((i z ℂ) → (i · z) ℂ)
63, 4, 5sylancr 393 . . . . . . 7 (z ℝ → (i · z) ℂ)
7 subcl 6967 . . . . . . 7 ((y (i · z) ℂ) → (y − (i · z)) ℂ)
82, 6, 7syl2an 273 . . . . . 6 ((y z ℝ) → (y − (i · z)) ℂ)
92adantr 261 . . . . . . . 8 ((y z ℝ) → y ℂ)
106adantl 262 . . . . . . . 8 ((y z ℝ) → (i · z) ℂ)
119, 10, 9ppncand 7118 . . . . . . 7 ((y z ℝ) → ((y + (i · z)) + (y − (i · z))) = (y + y))
12 readdcl 6765 . . . . . . . . 9 ((y y ℝ) → (y + y) ℝ)
1312anidms 377 . . . . . . . 8 (y ℝ → (y + y) ℝ)
1413adantr 261 . . . . . . 7 ((y z ℝ) → (y + y) ℝ)
1511, 14eqeltrd 2111 . . . . . 6 ((y z ℝ) → ((y + (i · z)) + (y − (i · z))) ℝ)
169, 10, 10pnncand 7117 . . . . . . . . . 10 ((y z ℝ) → ((y + (i · z)) − (y − (i · z))) = ((i · z) + (i · z)))
173a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((y z ℝ) → i ℂ)
184adantl 262 . . . . . . . . . . 11 ((y z ℝ) → z ℂ)
1917, 18, 18adddid 6809 . . . . . . . . . 10 ((y z ℝ) → (i · (z + z)) = ((i · z) + (i · z)))
2016, 19eqtr4d 2072 . . . . . . . . 9 ((y z ℝ) → ((y + (i · z)) − (y − (i · z))) = (i · (z + z)))
2120oveq2d 5471 . . . . . . . 8 ((y z ℝ) → (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) = (i · (i · (z + z))))
2218, 18addcld 6804 . . . . . . . . 9 ((y z ℝ) → (z + z) ℂ)
23 mulass 6770 . . . . . . . . . 10 ((i i (z + z) ℂ) → ((i · i) · (z + z)) = (i · (i · (z + z))))
243, 3, 23mp3an12 1221 . . . . . . . . 9 ((z + z) ℂ → ((i · i) · (z + z)) = (i · (i · (z + z))))
2522, 24syl 14 . . . . . . . 8 ((y z ℝ) → ((i · i) · (z + z)) = (i · (i · (z + z))))
2621, 25eqtr4d 2072 . . . . . . 7 ((y z ℝ) → (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) = ((i · i) · (z + z)))
27 ixi 7327 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
28 1re 6784 . . . . . . . . . 10 1
2928renegcli 7029 . . . . . . . . 9 -1
3027, 29eqeltri 2107 . . . . . . . 8 (i · i)
31 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((y z ℝ) → z ℝ)
3231, 31readdcld 6812 . . . . . . . 8 ((y z ℝ) → (z + z) ℝ)
33 remulcl 6767 . . . . . . . 8 (((i · i) (z + z) ℝ) → ((i · i) · (z + z)) ℝ)
3430, 32, 33sylancr 393 . . . . . . 7 ((y z ℝ) → ((i · i) · (z + z)) ℝ)
3526, 34eqeltrd 2111 . . . . . 6 ((y z ℝ) → (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) ℝ)
36 oveq2 5463 . . . . . . . . 9 (x = (y − (i · z)) → ((y + (i · z)) + x) = ((y + (i · z)) + (y − (i · z))))
3736eleq1d 2103 . . . . . . . 8 (x = (y − (i · z)) → (((y + (i · z)) + x) ℝ ↔ ((y + (i · z)) + (y − (i · z))) ℝ))
38 oveq2 5463 . . . . . . . . . 10 (x = (y − (i · z)) → ((y + (i · z)) − x) = ((y + (i · z)) − (y − (i · z))))
3938oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (x = (y − (i · z)) → (i · ((y + (i · z)) − x)) = (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))))
4039eleq1d 2103 . . . . . . . 8 (x = (y − (i · z)) → ((i · ((y + (i · z)) − x)) ℝ ↔ (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) ℝ))
4137, 40anbi12d 442 . . . . . . 7 (x = (y − (i · z)) → ((((y + (i · z)) + x) (i · ((y + (i · z)) − x)) ℝ) ↔ (((y + (i · z)) + (y − (i · z))) (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) ℝ)))
4241rspcev 2650 . . . . . 6 (((y − (i · z)) (((y + (i · z)) + (y − (i · z))) (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) ℝ)) → x ℂ (((y + (i · z)) + x) (i · ((y + (i · z)) − x)) ℝ))
438, 15, 35, 42syl12anc 1132 . . . . 5 ((y z ℝ) → x ℂ (((y + (i · z)) + x) (i · ((y + (i · z)) − x)) ℝ))
44 oveq1 5462 . . . . . . . 8 (A = (y + (i · z)) → (A + x) = ((y + (i · z)) + x))
4544eleq1d 2103 . . . . . . 7 (A = (y + (i · z)) → ((A + x) ℝ ↔ ((y + (i · z)) + x) ℝ))
46 oveq1 5462 . . . . . . . . 9 (A = (y + (i · z)) → (Ax) = ((y + (i · z)) − x))
4746oveq2d 5471 . . . . . . . 8 (A = (y + (i · z)) → (i · (Ax)) = (i · ((y + (i · z)) − x)))
4847eleq1d 2103 . . . . . . 7 (A = (y + (i · z)) → ((i · (Ax)) ℝ ↔ (i · ((y + (i · z)) − x)) ℝ))
4945, 48anbi12d 442 . . . . . 6 (A = (y + (i · z)) → (((A + x) (i · (Ax)) ℝ) ↔ (((y + (i · z)) + x) (i · ((y + (i · z)) − x)) ℝ)))
5049rexbidv 2321 . . . . 5 (A = (y + (i · z)) → (x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ) ↔ x ℂ (((y + (i · z)) + x) (i · ((y + (i · z)) − x)) ℝ)))
5143, 50syl5ibrcom 146 . . . 4 ((y z ℝ) → (A = (y + (i · z)) → x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ)))
5251rexlimivv 2432 . . 3 (y z A = (y + (i · z)) → x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ))
531, 52syl 14 . 2 (A ℂ → x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ))
54 an4 520 . . . 4 ((((A + x) (i · (Ax)) ℝ) ((A + y) (i · (Ay)) ℝ)) ↔ (((A + x) (A + y) ℝ) ((i · (Ax)) (i · (Ay)) ℝ)))
55 resubcl 7031 . . . . . . 7 (((A + x) (A + y) ℝ) → ((A + x) − (A + y)) ℝ)
56 pnpcan 7006 . . . . . . . . 9 ((A x y ℂ) → ((A + x) − (A + y)) = (xy))
57563expb 1104 . . . . . . . 8 ((A (x y ℂ)) → ((A + x) − (A + y)) = (xy))
5857eleq1d 2103 . . . . . . 7 ((A (x y ℂ)) → (((A + x) − (A + y)) ℝ ↔ (xy) ℝ))
5955, 58syl5ib 143 . . . . . 6 ((A (x y ℂ)) → (((A + x) (A + y) ℝ) → (xy) ℝ))
60 resubcl 7031 . . . . . . . 8 (((i · (Ay)) (i · (Ax)) ℝ) → ((i · (Ay)) − (i · (Ax))) ℝ)
6160ancoms 255 . . . . . . 7 (((i · (Ax)) (i · (Ay)) ℝ) → ((i · (Ay)) − (i · (Ax))) ℝ)
623a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((A (x y ℂ)) → i ℂ)
63 subcl 6967 . . . . . . . . . . 11 ((A y ℂ) → (Ay) ℂ)
6463adantrl 447 . . . . . . . . . 10 ((A (x y ℂ)) → (Ay) ℂ)
65 subcl 6967 . . . . . . . . . . 11 ((A x ℂ) → (Ax) ℂ)
6665adantrr 448 . . . . . . . . . 10 ((A (x y ℂ)) → (Ax) ℂ)
6762, 64, 66subdid 7167 . . . . . . . . 9 ((A (x y ℂ)) → (i · ((Ay) − (Ax))) = ((i · (Ay)) − (i · (Ax))))
68 nnncan1 7003 . . . . . . . . . . . 12 ((A y x ℂ) → ((Ay) − (Ax)) = (xy))
69683com23 1109 . . . . . . . . . . 11 ((A x y ℂ) → ((Ay) − (Ax)) = (xy))
70693expb 1104 . . . . . . . . . 10 ((A (x y ℂ)) → ((Ay) − (Ax)) = (xy))
7170oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 ((A (x y ℂ)) → (i · ((Ay) − (Ax))) = (i · (xy)))
7267, 71eqtr3d 2071 . . . . . . . 8 ((A (x y ℂ)) → ((i · (Ay)) − (i · (Ax))) = (i · (xy)))
7372eleq1d 2103 . . . . . . 7 ((A (x y ℂ)) → (((i · (Ay)) − (i · (Ax))) ℝ ↔ (i · (xy)) ℝ))
7461, 73syl5ib 143 . . . . . 6 ((A (x y ℂ)) → (((i · (Ax)) (i · (Ay)) ℝ) → (i · (xy)) ℝ))
7559, 74anim12d 318 . . . . 5 ((A (x y ℂ)) → ((((A + x) (A + y) ℝ) ((i · (Ax)) (i · (Ay)) ℝ)) → ((xy) (i · (xy)) ℝ)))
76 rimul 7329 . . . . . 6 (((xy) (i · (xy)) ℝ) → (xy) = 0)
7776a1i 9 . . . . 5 ((A (x y ℂ)) → (((xy) (i · (xy)) ℝ) → (xy) = 0))
78 subeq0 6993 . . . . . . 7 ((x y ℂ) → ((xy) = 0 ↔ x = y))
7978biimpd 132 . . . . . 6 ((x y ℂ) → ((xy) = 0 → x = y))
8079adantl 262 . . . . 5 ((A (x y ℂ)) → ((xy) = 0 → x = y))
8175, 77, 803syld 51 . . . 4 ((A (x y ℂ)) → ((((A + x) (A + y) ℝ) ((i · (Ax)) (i · (Ay)) ℝ)) → x = y))
8254, 81syl5bi 141 . . 3 ((A (x y ℂ)) → ((((A + x) (i · (Ax)) ℝ) ((A + y) (i · (Ay)) ℝ)) → x = y))
8382ralrimivva 2395 . 2 (A ℂ → x y ℂ ((((A + x) (i · (Ax)) ℝ) ((A + y) (i · (Ay)) ℝ)) → x = y))
84 oveq2 5463 . . . . 5 (x = y → (A + x) = (A + y))
8584eleq1d 2103 . . . 4 (x = y → ((A + x) ℝ ↔ (A + y) ℝ))
86 oveq2 5463 . . . . . 6 (x = y → (Ax) = (Ay))
8786oveq2d 5471 . . . . 5 (x = y → (i · (Ax)) = (i · (Ay)))
8887eleq1d 2103 . . . 4 (x = y → ((i · (Ax)) ℝ ↔ (i · (Ay)) ℝ))
8985, 88anbi12d 442 . . 3 (x = y → (((A + x) (i · (Ax)) ℝ) ↔ ((A + y) (i · (Ay)) ℝ)))
9089reu4 2729 . 2 (∃!x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ) ↔ (x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ) x y ℂ ((((A + x) (i · (Ax)) ℝ) ((A + y) (i · (Ay)) ℝ)) → x = y)))
9153, 83, 90sylanbrc 394 1 (A ℂ → ∃!x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  ∃!wreu 2302  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939  -cneg 6940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319
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