Theorem cju 7645

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju	⊢ (A ∈ ℂ → ∃!x ∈ ℂ ((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem cju

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 6773	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃y ∈ ℝ ∃z ∈ ℝ A = (y + (i · z)))
2		recn 6764	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → y ∈ ℂ)
3		ax-icn 6730	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 6764	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ℝ → z ∈ ℂ)
5		mulcl 6758	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ z ∈ ℂ) → (i · z) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 393	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ℝ → (i · z) ∈ ℂ)
7		subcl 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ (i · z) ∈ ℂ) → (y − (i · z)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 273	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (y − (i · z)) ∈ ℂ)
9	2	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → y ∈ ℂ)
10	6	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (i · z) ∈ ℂ)
11	9, 10, 9	ppncand 7110	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((y + (i · z)) + (y − (i · z))) = (y + y))
12		readdcl 6757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (y + y) ∈ ℝ)
13	12	anidms 377	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (y + y) ∈ ℝ)
14	13	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (y + y) ∈ ℝ)
15	11, 14	eqeltrd 2111	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((y + (i · z)) + (y − (i · z))) ∈ ℝ)
16	9, 10, 10	pnncand 7109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((y + (i · z)) − (y − (i · z))) = ((i · z) + (i · z)))
17	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
18	4	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → z ∈ ℂ)
19	17, 18, 18	adddid 6801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (i · (z + z)) = ((i · z) + (i · z)))
20	16, 19	eqtr4d 2072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((y + (i · z)) − (y − (i · z))) = (i · (z + z)))
21	20	oveq2d 5468	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) = (i · (i · (z + z))))
22	18, 18	addcld 6796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (z + z) ∈ ℂ)
23		mulass 6762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (z + z) ∈ ℂ) → ((i · i) · (z + z)) = (i · (i · (z + z))))
24	3, 3, 23	mp3an12 1221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z + z) ∈ ℂ → ((i · i) · (z + z)) = (i · (i · (z + z))))
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((i · i) · (z + z)) = (i · (i · (z + z))))
26	21, 25	eqtr4d 2072	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) = ((i · i) · (z + z)))
27		ixi 7319	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
28		1re 6776	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	28	renegcli 7021	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
30	27, 29	eqeltri 2107	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
31		simpr 103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → z ∈ ℝ)
32	31, 31	readdcld 6804	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (z + z) ∈ ℝ)
33		remulcl 6759	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ (z + z) ∈ ℝ) → ((i · i) · (z + z)) ∈ ℝ)
34	30, 32, 33	sylancr 393	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((i · i) · (z + z)) ∈ ℝ)
35	26, 34	eqeltrd 2111	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) ∈ ℝ)
36		oveq2 5460	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (y − (i · z)) → ((y + (i · z)) + x) = ((y + (i · z)) + (y − (i · z))))
37	36	eleq1d 2103	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (y − (i · z)) → (((y + (i · z)) + x) ∈ ℝ ↔ ((y + (i · z)) + (y − (i · z))) ∈ ℝ))
38		oveq2 5460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (y − (i · z)) → ((y + (i · z)) − x) = ((y + (i · z)) − (y − (i · z))))
39	38	oveq2d 5468	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (y − (i · z)) → (i · ((y + (i · z)) − x)) = (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))))
40	39	eleq1d 2103	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (y − (i · z)) → ((i · ((y + (i · z)) − x)) ∈ ℝ ↔ (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) ∈ ℝ))
41	37, 40	anbi12d 442	. . . . . . 7 ⊢ (x = (y − (i · z)) → ((((y + (i · z)) + x) ∈ ℝ ∧ (i · ((y + (i · z)) − x)) ∈ ℝ) ↔ (((y + (i · z)) + (y − (i · z))) ∈ ℝ ∧ (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) ∈ ℝ)))
42	41	rspcev 2650	. . . . . 6 ⊢ (((y − (i · z)) ∈ ℂ ∧ (((y + (i · z)) + (y − (i · z))) ∈ ℝ ∧ (i · ((y + (i · z)) − (y − (i · z)))) ∈ ℝ)) → ∃x ∈ ℂ (((y + (i · z)) + x) ∈ ℝ ∧ (i · ((y + (i · z)) − x)) ∈ ℝ))
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1132	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ∃x ∈ ℂ (((y + (i · z)) + x) ∈ ℝ ∧ (i · ((y + (i · z)) − x)) ∈ ℝ))
44		oveq1 5459	. . . . . . . 8 ⊢ (A = (y + (i · z)) → (A + x) = ((y + (i · z)) + x))
45	44	eleq1d 2103	. . . . . . 7 ⊢ (A = (y + (i · z)) → ((A + x) ∈ ℝ ↔ ((y + (i · z)) + x) ∈ ℝ))
46		oveq1 5459	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = (y + (i · z)) → (A − x) = ((y + (i · z)) − x))
47	46	oveq2d 5468	. . . . . . . 8 ⊢ (A = (y + (i · z)) → (i · (A − x)) = (i · ((y + (i · z)) − x)))
48	47	eleq1d 2103	. . . . . . 7 ⊢ (A = (y + (i · z)) → ((i · (A − x)) ∈ ℝ ↔ (i · ((y + (i · z)) − x)) ∈ ℝ))
49	45, 48	anbi12d 442	. . . . . 6 ⊢ (A = (y + (i · z)) → (((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) ↔ (((y + (i · z)) + x) ∈ ℝ ∧ (i · ((y + (i · z)) − x)) ∈ ℝ)))
50	49	rexbidv 2321	. . . . 5 ⊢ (A = (y + (i · z)) → (∃x ∈ ℂ ((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) ↔ ∃x ∈ ℂ (((y + (i · z)) + x) ∈ ℝ ∧ (i · ((y + (i · z)) − x)) ∈ ℝ)))
51	43, 50	syl5ibrcom 146	. . . 4 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (A = (y + (i · z)) → ∃x ∈ ℂ ((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ)))
52	51	rexlimivv 2432	. . 3 ⊢ (∃y ∈ ℝ ∃z ∈ ℝ A = (y + (i · z)) → ∃x ∈ ℂ ((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ))
53	1, 52	syl 14	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℂ ((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ))
54		an4 520	. . . 4 ⊢ ((((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) ∧ ((A + y) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ)) ↔ (((A + x) ∈ ℝ ∧ (A + y) ∈ ℝ) ∧ ((i · (A − x)) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ)))
55		resubcl 7023	. . . . . . 7 ⊢ (((A + x) ∈ ℝ ∧ (A + y) ∈ ℝ) → ((A + x) − (A + y)) ∈ ℝ)
56		pnpcan 6998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((A + x) − (A + y)) = (x − y))
57	56	3expb 1104	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → ((A + x) − (A + y)) = (x − y))
58	57	eleq1d 2103	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → (((A + x) − (A + y)) ∈ ℝ ↔ (x − y) ∈ ℝ))
59	55, 58	syl5ib 143	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → (((A + x) ∈ ℝ ∧ (A + y) ∈ ℝ) → (x − y) ∈ ℝ))
60		resubcl 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (A − y)) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) → ((i · (A − y)) − (i · (A − x))) ∈ ℝ)
61	60	ancoms 255	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (A − x)) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ) → ((i · (A − y)) − (i · (A − x))) ∈ ℝ)
62	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → i ∈ ℂ)
63		subcl 6959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (A − y) ∈ ℂ)
64	63	adantrl 447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → (A − y) ∈ ℂ)
65		subcl 6959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → (A − x) ∈ ℂ)
66	65	adantrr 448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → (A − x) ∈ ℂ)
67	62, 64, 66	subdid 7159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → (i · ((A − y) − (A − x))) = ((i · (A − y)) − (i · (A − x))))
68		nnncan1 6995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → ((A − y) − (A − x)) = (x − y))
69	68	3com23 1109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((A − y) − (A − x)) = (x − y))
70	69	3expb 1104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → ((A − y) − (A − x)) = (x − y))
71	70	oveq2d 5468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → (i · ((A − y) − (A − x))) = (i · (x − y)))
72	67, 71	eqtr3d 2071	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → ((i · (A − y)) − (i · (A − x))) = (i · (x − y)))
73	72	eleq1d 2103	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → (((i · (A − y)) − (i · (A − x))) ∈ ℝ ↔ (i · (x − y)) ∈ ℝ))
74	61, 73	syl5ib 143	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → (((i · (A − x)) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ) → (i · (x − y)) ∈ ℝ))
75	59, 74	anim12d 318	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → ((((A + x) ∈ ℝ ∧ (A + y) ∈ ℝ) ∧ ((i · (A − x)) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ)) → ((x − y) ∈ ℝ ∧ (i · (x − y)) ∈ ℝ)))
76		rimul 7321	. . . . . 6 ⊢ (((x − y) ∈ ℝ ∧ (i · (x − y)) ∈ ℝ) → (x − y) = 0)
77	76	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → (((x − y) ∈ ℝ ∧ (i · (x − y)) ∈ ℝ) → (x − y) = 0))
78		subeq0 6985	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((x − y) = 0 ↔ x = y))
79	78	biimpd 132	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((x − y) = 0 → x = y))
80	79	adantl 262	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → ((x − y) = 0 → x = y))
81	75, 77, 80	3syld 51	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → ((((A + x) ∈ ℝ ∧ (A + y) ∈ ℝ) ∧ ((i · (A − x)) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ)) → x = y))
82	54, 81	syl5bi 141	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ)) → ((((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) ∧ ((A + y) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ)) → x = y))
83	82	ralrimivva 2395	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ ℂ ((((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) ∧ ((A + y) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ)) → x = y))
84		oveq2 5460	. . . . 5 ⊢ (x = y → (A + x) = (A + y))
85	84	eleq1d 2103	. . . 4 ⊢ (x = y → ((A + x) ∈ ℝ ↔ (A + y) ∈ ℝ))
86		oveq2 5460	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (A − x) = (A − y))
87	86	oveq2d 5468	. . . . 5 ⊢ (x = y → (i · (A − x)) = (i · (A − y)))
88	87	eleq1d 2103	. . . 4 ⊢ (x = y → ((i · (A − x)) ∈ ℝ ↔ (i · (A − y)) ∈ ℝ))
89	85, 88	anbi12d 442	. . 3 ⊢ (x = y → (((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) ↔ ((A + y) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ)))
90	89	reu4 2729	. 2 ⊢ (∃!x ∈ ℂ ((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) ↔ (∃x ∈ ℂ ((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ ℂ ((((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ) ∧ ((A + y) ∈ ℝ ∧ (i · (A − y)) ∈ ℝ)) → x = y)))
91	53, 83, 90	sylanbrc 394	1 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃!x ∈ ℂ ((A + x) ∈ ℝ ∧ (i · (A − x)) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  ∃!wreu 2302  (class class class)co 5452  ℂcc 6661  ℝcr 6662  0cc0 6663  1c1 6664  ici 6665   + caddc 6666   · cmul 6668   − cmin 6931  -cneg 6932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-ltxr 6814  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311

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