Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccf1o Structured version   GIF version

Theorem iccf1o 8642
 Description: Describe a bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [A, B]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iccf1o.1 𝐹 = (x (0[,]1) ↦ ((x · B) + ((1 − x) · A)))
Assertion
Ref Expression
iccf1o ((A B A < B) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(A[,]B) 𝐹 = (y (A[,]B) ↦ ((yA) / (BA)))))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y
Allowed substitution hints:   𝐹(x,y)

Proof of Theorem iccf1o
StepHypRef Expression
1 iccf1o.1 . 2 𝐹 = (x (0[,]1) ↦ ((x · B) + ((1 − x) · A)))
2 0re 6825 . . . . . . . . 9 0
3 1re 6824 . . . . . . . . 9 1
42, 3elicc2i 8578 . . . . . . . 8 (x (0[,]1) ↔ (x 0 ≤ x x ≤ 1))
54simp1bi 918 . . . . . . 7 (x (0[,]1) → x ℝ)
65adantl 262 . . . . . 6 (((A B A < B) x (0[,]1)) → x ℝ)
76recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) x (0[,]1)) → x ℂ)
8 simpl2 907 . . . . . 6 (((A B A < B) x (0[,]1)) → B ℝ)
98recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) x (0[,]1)) → B ℂ)
107, 9mulcld 6845 . . . 4 (((A B A < B) x (0[,]1)) → (x · B) ℂ)
11 ax-1cn 6776 . . . . . 6 1
12 subcl 7007 . . . . . 6 ((1 x ℂ) → (1 − x) ℂ)
1311, 7, 12sylancr 393 . . . . 5 (((A B A < B) x (0[,]1)) → (1 − x) ℂ)
14 simpl1 906 . . . . . 6 (((A B A < B) x (0[,]1)) → A ℝ)
1514recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) x (0[,]1)) → A ℂ)
1613, 15mulcld 6845 . . . 4 (((A B A < B) x (0[,]1)) → ((1 − x) · A) ℂ)
1710, 16addcomd 6961 . . 3 (((A B A < B) x (0[,]1)) → ((x · B) + ((1 − x) · A)) = (((1 − x) · A) + (x · B)))
18 lincmb01cmp 8641 . . 3 (((A B A < B) x (0[,]1)) → (((1 − x) · A) + (x · B)) (A[,]B))
1917, 18eqeltrd 2111 . 2 (((A B A < B) x (0[,]1)) → ((x · B) + ((1 − x) · A)) (A[,]B))
20 simpr 103 . . . . 5 (((A B A < B) y (A[,]B)) → y (A[,]B))
21 simpl1 906 . . . . . 6 (((A B A < B) y (A[,]B)) → A ℝ)
22 simpl2 907 . . . . . 6 (((A B A < B) y (A[,]B)) → B ℝ)
23 elicc2 8577 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → (y (A[,]B) ↔ (y Ay yB)))
24233adant3 923 . . . . . . . 8 ((A B A < B) → (y (A[,]B) ↔ (y Ay yB)))
2524biimpa 280 . . . . . . 7 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (y Ay yB))
2625simp1d 915 . . . . . 6 (((A B A < B) y (A[,]B)) → y ℝ)
27 eqid 2037 . . . . . . 7 (AA) = (AA)
28 eqid 2037 . . . . . . 7 (BA) = (BA)
2927, 28iccshftl 8634 . . . . . 6 (((A B ℝ) (y A ℝ)) → (y (A[,]B) ↔ (yA) ((AA)[,](BA))))
3021, 22, 26, 21, 29syl22anc 1135 . . . . 5 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (y (A[,]B) ↔ (yA) ((AA)[,](BA))))
3120, 30mpbid 135 . . . 4 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (yA) ((AA)[,](BA)))
3226, 21resubcld 7175 . . . . . 6 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (yA) ℝ)
3332recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (yA) ℂ)
34 difrp 8394 . . . . . . . 8 ((A B ℝ) → (A < B ↔ (BA) +))
3534biimp3a 1234 . . . . . . 7 ((A B A < B) → (BA) +)
3635adantr 261 . . . . . 6 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (BA) +)
3736rpcnd 8399 . . . . 5 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (BA) ℂ)
38 rpap0 8374 . . . . . 6 ((BA) + → (BA) # 0)
3936, 38syl 14 . . . . 5 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (BA) # 0)
4033, 37, 39divcanap1d 7548 . . . 4 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (((yA) / (BA)) · (BA)) = (yA))
4137mul02d 7185 . . . . . 6 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (0 · (BA)) = 0)
4221recnd 6851 . . . . . . 7 (((A B A < B) y (A[,]B)) → A ℂ)
4342subidd 7106 . . . . . 6 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (AA) = 0)
4441, 43eqtr4d 2072 . . . . 5 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (0 · (BA)) = (AA))
4537mulid2d 6843 . . . . 5 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (1 · (BA)) = (BA))
4644, 45oveq12d 5473 . . . 4 (((A B A < B) y (A[,]B)) → ((0 · (BA))[,](1 · (BA))) = ((AA)[,](BA)))
4731, 40, 463eltr4d 2118 . . 3 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (((yA) / (BA)) · (BA)) ((0 · (BA))[,](1 · (BA))))
48 0red 6826 . . . 4 (((A B A < B) y (A[,]B)) → 0 ℝ)
49 1red 6840 . . . 4 (((A B A < B) y (A[,]B)) → 1 ℝ)
5032, 36rerpdivcld 8424 . . . 4 (((A B A < B) y (A[,]B)) → ((yA) / (BA)) ℝ)
51 eqid 2037 . . . . 5 (0 · (BA)) = (0 · (BA))
52 eqid 2037 . . . . 5 (1 · (BA)) = (1 · (BA))
5351, 52iccdil 8636 . . . 4 (((0 1 ℝ) (((yA) / (BA)) (BA) +)) → (((yA) / (BA)) (0[,]1) ↔ (((yA) / (BA)) · (BA)) ((0 · (BA))[,](1 · (BA)))))
5448, 49, 50, 36, 53syl22anc 1135 . . 3 (((A B A < B) y (A[,]B)) → (((yA) / (BA)) (0[,]1) ↔ (((yA) / (BA)) · (BA)) ((0 · (BA))[,](1 · (BA)))))
5547, 54mpbird 156 . 2 (((A B A < B) y (A[,]B)) → ((yA) / (BA)) (0[,]1))
56 eqcom 2039 . . . 4 (x = ((yA) / (BA)) ↔ ((yA) / (BA)) = x)
5733adantrl 447 . . . . 5 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → (yA) ℂ)
587adantrr 448 . . . . 5 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → x ℂ)
5937adantrl 447 . . . . 5 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → (BA) ℂ)
6039adantrl 447 . . . . 5 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → (BA) # 0)
6157, 58, 59, 60divmulap3d 7581 . . . 4 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → (((yA) / (BA)) = x ↔ (yA) = (x · (BA))))
6256, 61syl5bb 181 . . 3 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → (x = ((yA) / (BA)) ↔ (yA) = (x · (BA))))
6326adantrl 447 . . . . . 6 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → y ℝ)
6463recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → y ℂ)
6542adantrl 447 . . . . 5 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → A ℂ)
668, 14resubcld 7175 . . . . . . . 8 (((A B A < B) x (0[,]1)) → (BA) ℝ)
676, 66remulcld 6853 . . . . . . 7 (((A B A < B) x (0[,]1)) → (x · (BA)) ℝ)
6867adantrr 448 . . . . . 6 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → (x · (BA)) ℝ)
6968recnd 6851 . . . . 5 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → (x · (BA)) ℂ)
7064, 65, 69subadd2d 7137 . . . 4 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → ((yA) = (x · (BA)) ↔ ((x · (BA)) + A) = y))
71 eqcom 2039 . . . 4 (((x · (BA)) + A) = yy = ((x · (BA)) + A))
7270, 71syl6bb 185 . . 3 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → ((yA) = (x · (BA)) ↔ y = ((x · (BA)) + A)))
737, 15mulcld 6845 . . . . . . 7 (((A B A < B) x (0[,]1)) → (x · A) ℂ)
7410, 73, 15subadd23d 7140 . . . . . 6 (((A B A < B) x (0[,]1)) → (((x · B) − (x · A)) + A) = ((x · B) + (A − (x · A))))
757, 9, 15subdid 7207 . . . . . . 7 (((A B A < B) x (0[,]1)) → (x · (BA)) = ((x · B) − (x · A)))
7675oveq1d 5470 . . . . . 6 (((A B A < B) x (0[,]1)) → ((x · (BA)) + A) = (((x · B) − (x · A)) + A))
77 1cnd 6841 . . . . . . . . 9 (((A B A < B) x (0[,]1)) → 1 ℂ)
7877, 7, 15subdird 7208 . . . . . . . 8 (((A B A < B) x (0[,]1)) → ((1 − x) · A) = ((1 · A) − (x · A)))
7915mulid2d 6843 . . . . . . . . 9 (((A B A < B) x (0[,]1)) → (1 · A) = A)
8079oveq1d 5470 . . . . . . . 8 (((A B A < B) x (0[,]1)) → ((1 · A) − (x · A)) = (A − (x · A)))
8178, 80eqtrd 2069 . . . . . . 7 (((A B A < B) x (0[,]1)) → ((1 − x) · A) = (A − (x · A)))
8281oveq2d 5471 . . . . . 6 (((A B A < B) x (0[,]1)) → ((x · B) + ((1 − x) · A)) = ((x · B) + (A − (x · A))))
8374, 76, 823eqtr4d 2079 . . . . 5 (((A B A < B) x (0[,]1)) → ((x · (BA)) + A) = ((x · B) + ((1 − x) · A)))
8483adantrr 448 . . . 4 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → ((x · (BA)) + A) = ((x · B) + ((1 − x) · A)))
8584eqeq2d 2048 . . 3 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → (y = ((x · (BA)) + A) ↔ y = ((x · B) + ((1 − x) · A))))
8662, 72, 853bitrd 203 . 2 (((A B A < B) (x (0[,]1) y (A[,]B))) → (x = ((yA) / (BA)) ↔ y = ((x · B) + ((1 − x) · A))))
871, 19, 55, 86f1ocnv2d 5646 1 ((A B A < B) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(A[,]B) 𝐹 = (y (A[,]B) ↦ ((yA) / (BA)))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755   ↦ cmpt 3809  ◡ccnv 4287  –1-1-onto→wf1o 4844  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716   < clt 6857   ≤ cle 6858   − cmin 6979   # cap 7365   / cdiv 7433  ℝ+crp 8358  [,]cicc 8530 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-rp 8359  df-icc 8534 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator