Theorem iccf1o 8830

Description: Describe a bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [𝐴, 𝐵]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iccf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
iccf1o	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iccf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccf1o.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
2		0re 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 6998	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	elicc2i 8766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
5	4	simp1bi 919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	recnd 7025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpl2 908	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	recnd 7025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 7019	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		ax-1cn 6949	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		subcl 7181	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 7, 12	sylancr 393	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
14		simpl1 907	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 7025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 7019	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
17	10, 16	addcomd 7135	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)))
18		lincmb01cmp 8829	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	17, 18	eqeltrd 2114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20		simpr 103	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21		simpl1 907	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		simpl2 908	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
23		elicc2 8765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
24	23	3adant3 924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
25	24	biimpa 280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
26	25	simp1d 916	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27		eqid 2040	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴)
28		eqid 2040	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
29	27, 28	iccshftl 8822	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴))))
30	21, 22, 26, 21, 29	syl22anc 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴))))
31	20, 30	mpbid 135	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴)))
32	26, 21	resubcld 7349	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℝ)
33	32	recnd 7025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℂ)
34		difrp 8581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))
35	34	biimp3a 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)
36	35	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)
37	36	rpcnd 8586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
38		rpap0 8561	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ → (𝐵 − 𝐴) # 0)
39	36, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) # 0)
40	33, 37, 39	divcanap1d 7733	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑦 − 𝐴))
41	37	mul02d 7359	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
42	21	recnd 7025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	subidd 7280	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
44	41, 43	eqtr4d 2075	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
45	37	mulid2d 7017	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
46	44, 45	oveq12d 5508	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴)))
47	31, 40, 46	3eltr4d 2121	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))))
48		0red 7000	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
49		1red 7014	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
50	32, 36	rerpdivcld 8612	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
51		eqid 2040	. . . . 5 ⊢ (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (0 · (𝐵 − 𝐴))
52		eqid 2040	. . . . 5 ⊢ (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (1 · (𝐵 − 𝐴))
53	51, 52	iccdil 8824	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
54	48, 49, 50, 36, 53	syl22anc 1136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
55	47, 54	mpbird 156	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1))
56		eqcom 2042	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑥)
57	33	adantrl 447	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℂ)
58	7	adantrr 448	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
59	37	adantrl 447	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
60	39	adantrl 447	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) # 0)
61	57, 58, 59, 60	divmulap3d 7766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑥 ↔ (𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴))))
62	56, 61	syl5bb 181	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴))))
63	26	adantrl 447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	63	recnd 7025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
65	42	adantrl 447	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
66	8, 14	resubcld 7349	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
67	6, 66	remulcld 7027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
68	67	adantrr 448	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 7025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
70	64, 65, 69	subadd2d 7311	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = 𝑦))
71		eqcom 2042	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = 𝑦 ↔ 𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴))
72	70, 71	syl6bb 185	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴)))
73	7, 15	mulcld 7019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ ℂ)
74	10, 73, 15	subadd23d 7314	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
75	7, 9, 15	subdid 7381	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)))
76	75	oveq1d 5505	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴))
77		1cnd 7015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
78	77, 7, 15	subdird 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)))
79	15	mulid2d 7017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
80	79	oveq1d 5505	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
81	78, 80	eqtrd 2072	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
82	81	oveq2d 5506	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
83	74, 76, 82	3eqtr4d 2082	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
84	83	adantrr 448	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
85	84	eqeq2d 2051	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
86	62, 72, 85	3bitrd 203	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
87	1, 19, 55, 86	f1ocnv2d 5682	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3761   ↦ cmpt 3815  ^◡ccnv 4322  –1-1-onto→wf1o 4879  (class class class)co 5490  ℂcc 6859  ℝcr 6860  0cc0 6861  1c1 6862   + caddc 6864   · cmul 6866   < clt 7031   ≤ cle 7032   − cmin 7153   # cap 7539   / cdiv 7618  ℝ⁺crp 8545  [,]cicc 8718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4157  ax-setind 4247  ax-iinf 4289  ax-cnex 6947  ax-resscn 6948  ax-1cn 6949  ax-1re 6950  ax-icn 6951  ax-addcl 6952  ax-addrcl 6953  ax-mulcl 6954  ax-mulrcl 6955  ax-addcom 6956  ax-mulcom 6957  ax-addass 6958  ax-mulass 6959  ax-distr 6960  ax-i2m1 6961  ax-1rid 6963  ax-0id 6964  ax-rnegex 6965  ax-precex 6966  ax-cnre 6967  ax-pre-ltirr 6968  ax-pre-ltwlin 6969  ax-pre-lttrn 6970  ax-pre-apti 6971  ax-pre-ltadd 6972  ax-pre-mulgt0 6973  ax-pre-mulext 6974

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4090  df-on 4092  df-suc 4095  df-iom 4292  df-xp 4329  df-rel 4330  df-cnv 4331  df-co 4332  df-dm 4333  df-rn 4334  df-res 4335  df-ima 4336  df-iota 4845  df-fun 4882  df-fn 4883  df-f 4884  df-f1 4885  df-fo 4886  df-f1o 4887  df-fv 4888  df-riota 5446  df-ov 5493  df-oprab 5494  df-mpt2 5495  df-1st 5745  df-2nd 5746  df-recs 5898  df-irdg 5935  df-1o 5979  df-2o 5980  df-oadd 5983  df-omul 5984  df-er 6084  df-ec 6086  df-qs 6090  df-ni 6374  df-pli 6375  df-mi 6376  df-lti 6377  df-plpq 6414  df-mpq 6415  df-enq 6417  df-nqqs 6418  df-plqqs 6419  df-mqqs 6420  df-1nqqs 6421  df-rq 6422  df-ltnqqs 6423  df-enq0 6494  df-nq0 6495  df-0nq0 6496  df-plq0 6497  df-mq0 6498  df-inp 6536  df-i1p 6537  df-iplp 6538  df-iltp 6540  df-enr 6783  df-nr 6784  df-ltr 6787  df-0r 6788  df-1r 6789  df-0 6868  df-1 6869  df-r 6871  df-lt 6874  df-pnf 7033  df-mnf 7034  df-xr 7035  df-ltxr 7036  df-le 7037  df-sub 7155  df-neg 7156  df-reap 7533  df-ap 7540  df-div 7619  df-rp 8546  df-icc 8722

This theorem is referenced by: (None)