ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicc2i GIF version

Theorem elicc2i 8775
Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elicc2i.1 𝐴 ∈ ℝ
elicc2i.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
elicc2i (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))

Proof of Theorem elicc2i
StepHypRef Expression
1 elicc2i.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 elicc2i.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 elicc2 8774 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
41, 2, 3mp2an 402 1 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 98  w3a 885  wcel 1393   class class class wbr 3761  (class class class)co 5499  cr 6869  cle 7041  [,]cicc 8727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-cnex 6956  ax-resscn 6957  ax-pre-ltirr 6977  ax-pre-ltwlin 6978  ax-pre-lttrn 6979
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fv 4897  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-pnf 7042  df-mnf 7043  df-xr 7044  df-ltxr 7045  df-le 7046  df-icc 8731
This theorem is referenced by:  0elunit  8821  1elunit  8822  divelunit  8837  lincmb01cmp  8838  iccf1o  8839
  Copyright terms: Public domain W3C validator