ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subcl Structured version   GIF version

Theorem subcl 6987
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subcl ((A B ℂ) → (AB) ℂ)

Proof of Theorem subcl
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 6980 . 2 ((A B ℂ) → (AB) = (x ℂ (B + x) = A))
2 negeu 6979 . . . 4 ((B A ℂ) → ∃!x ℂ (B + x) = A)
32ancoms 255 . . 3 ((A B ℂ) → ∃!x ℂ (B + x) = A)
4 riotacl 5425 . . 3 (∃!x ℂ (B + x) = A → (x ℂ (B + x) = A) ℂ)
53, 4syl 14 . 2 ((A B ℂ) → (x ℂ (B + x) = A) ℂ)
61, 5eqeltrd 2111 1 ((A B ℂ) → (AB) ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  ∃!wreu 2302  crio 5410  (class class class)co 5455  cc 6689   + caddc 6694  cmin 6959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6961
This theorem is referenced by:  negcl  6988  subf  6990  pncan3  6996  npcan  6997  addsubass  6998  addsub  6999  addsub12  7001  addsubeq4  7003  npncan  7008  nppcan  7009  nnpcan  7010  nppcan3  7011  subcan2  7012  subsub2  7015  subsub4  7020  nnncan  7022  nnncan1  7023  nnncan2  7024  npncan3  7025  addsub4  7030  subadd4  7031  peano2cnm  7053  subcli  7063  subcld  7098  subeqrev  7150  subdi  7158  subdir  7159  mulsub2  7175  recextlem1  7394  recexap  7396  cju  7674  halfaddsubcl  7915  halfaddsub  7916  iccf1o  8622  sqsubswap  8948  subsq  8991  subsq2  8992
  Copyright terms: Public domain W3C validator