ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subdi Structured version   GIF version

Theorem subdi 6983
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
subdi ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (B𝐶)) = ((A · B) − (A · 𝐶)))

Proof of Theorem subdi
StepHypRef Expression
1 simp1 890 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → A ℂ)
2 simp3 892 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → 𝐶 ℂ)
3 subcl 6812 . . . . . 6 ((B 𝐶 ℂ) → (B𝐶) ℂ)
433adant1 908 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → (B𝐶) ℂ)
51, 2, 4adddid 6654 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (𝐶 + (B𝐶))) = ((A · 𝐶) + (A · (B𝐶))))
6 pncan3 6821 . . . . . . 7 ((𝐶 B ℂ) → (𝐶 + (B𝐶)) = B)
76ancoms 255 . . . . . 6 ((B 𝐶 ℂ) → (𝐶 + (B𝐶)) = B)
873adant1 908 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → (𝐶 + (B𝐶)) = B)
98oveq2d 5448 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (𝐶 + (B𝐶))) = (A · B))
105, 9eqtr3d 2052 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A · 𝐶) + (A · (B𝐶))) = (A · B))
11 mulcl 6611 . . . . 5 ((A B ℂ) → (A · B) ℂ)
12113adant3 910 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · B) ℂ)
13 mulcl 6611 . . . . 5 ((A 𝐶 ℂ) → (A · 𝐶) ℂ)
14133adant2 909 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · 𝐶) ℂ)
15 mulcl 6611 . . . . . 6 ((A (B𝐶) ℂ) → (A · (B𝐶)) ℂ)
163, 15sylan2 270 . . . . 5 ((A (B 𝐶 ℂ)) → (A · (B𝐶)) ℂ)
17163impb 1084 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (B𝐶)) ℂ)
1812, 14, 17subaddd 6941 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → (((A · B) − (A · 𝐶)) = (A · (B𝐶)) ↔ ((A · 𝐶) + (A · (B𝐶))) = (A · B)))
1910, 18mpbird 156 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A · B) − (A · 𝐶)) = (A · (B𝐶)))
2019eqcomd 2023 1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (B𝐶)) = ((A · B) − (A · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 871   = wceq 1226   wcel 1370  (class class class)co 5432  cc 6522   + caddc 6527   · cmul 6529  cmin 6784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-setind 4200  ax-resscn 6582  ax-1cn 6583  ax-icn 6585  ax-addcl 6586  ax-addrcl 6587  ax-mulcl 6588  ax-addcom 6590  ax-addass 6592  ax-distr 6594  ax-i2m1 6595  ax-0id 6598  ax-rnegex 6599  ax-cnre 6601
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fv 4833  df-riota 5389  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-sub 6786
This theorem is referenced by:  subdir  6984  subdii  7005  subdid  7012
  Copyright terms: Public domain W3C validator