Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subdi Structured version   GIF version

Theorem subdi 7158
 Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
subdi ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (B𝐶)) = ((A · B) − (A · 𝐶)))

Proof of Theorem subdi
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → A ℂ)
2 simp3 905 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → 𝐶 ℂ)
3 subcl 6987 . . . . . 6 ((B 𝐶 ℂ) → (B𝐶) ℂ)
433adant1 921 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → (B𝐶) ℂ)
51, 2, 4adddid 6829 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (𝐶 + (B𝐶))) = ((A · 𝐶) + (A · (B𝐶))))
6 pncan3 6996 . . . . . . 7 ((𝐶 B ℂ) → (𝐶 + (B𝐶)) = B)
76ancoms 255 . . . . . 6 ((B 𝐶 ℂ) → (𝐶 + (B𝐶)) = B)
873adant1 921 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℂ) → (𝐶 + (B𝐶)) = B)
98oveq2d 5471 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (𝐶 + (B𝐶))) = (A · B))
105, 9eqtr3d 2071 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A · 𝐶) + (A · (B𝐶))) = (A · B))
11 mulcl 6786 . . . . 5 ((A B ℂ) → (A · B) ℂ)
12113adant3 923 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · B) ℂ)
13 mulcl 6786 . . . . 5 ((A 𝐶 ℂ) → (A · 𝐶) ℂ)
14133adant2 922 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · 𝐶) ℂ)
15 mulcl 6786 . . . . . 6 ((A (B𝐶) ℂ) → (A · (B𝐶)) ℂ)
163, 15sylan2 270 . . . . 5 ((A (B 𝐶 ℂ)) → (A · (B𝐶)) ℂ)
17163impb 1099 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (B𝐶)) ℂ)
1812, 14, 17subaddd 7116 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → (((A · B) − (A · 𝐶)) = (A · (B𝐶)) ↔ ((A · 𝐶) + (A · (B𝐶))) = (A · B)))
1910, 18mpbird 156 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A · B) − (A · 𝐶)) = (A · (B𝐶)))
2019eqcomd 2042 1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (B𝐶)) = ((A · B) − (A · 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  ℂcc 6689   + caddc 6694   · cmul 6696   − cmin 6959 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6961 This theorem is referenced by:  subdir  7159  subdii  7180  subdid  7187  expubnd  8945  subsq  8991
 Copyright terms: Public domain W3C validator