ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recextlem1 Structured version   GIF version

Theorem recextlem1 7374
Description: Lemma for recexap 7376. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
recextlem1 ((A B ℂ) → ((A + (i · B)) · (A − (i · B))) = ((A · A) + (B · B)))

Proof of Theorem recextlem1
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . 3 ((A B ℂ) → A ℂ)
2 ax-icn 6738 . . . . 5 i
3 mulcl 6766 . . . . 5 ((i B ℂ) → (i · B) ℂ)
42, 3mpan 400 . . . 4 (B ℂ → (i · B) ℂ)
54adantl 262 . . 3 ((A B ℂ) → (i · B) ℂ)
6 subcl 6967 . . . 4 ((A (i · B) ℂ) → (A − (i · B)) ℂ)
74, 6sylan2 270 . . 3 ((A B ℂ) → (A − (i · B)) ℂ)
81, 5, 7adddird 6810 . 2 ((A B ℂ) → ((A + (i · B)) · (A − (i · B))) = ((A · (A − (i · B))) + ((i · B) · (A − (i · B)))))
91, 1, 5subdid 7167 . . 3 ((A B ℂ) → (A · (A − (i · B))) = ((A · A) − (A · (i · B))))
105, 1, 5subdid 7167 . . . 4 ((A B ℂ) → ((i · B) · (A − (i · B))) = (((i · B) · A) − ((i · B) · (i · B))))
11 mulcom 6768 . . . . . 6 ((A (i · B) ℂ) → (A · (i · B)) = ((i · B) · A))
124, 11sylan2 270 . . . . 5 ((A B ℂ) → (A · (i · B)) = ((i · B) · A))
13 ixi 7327 . . . . . . . . . 10 (i · i) = -1
1413oveq1i 5465 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (B · B)) = (-1 · (B · B))
15 mulcl 6766 . . . . . . . . . 10 ((B B ℂ) → (B · B) ℂ)
1615mulm1d 7163 . . . . . . . . 9 ((B B ℂ) → (-1 · (B · B)) = -(B · B))
1714, 16syl5req 2082 . . . . . . . 8 ((B B ℂ) → -(B · B) = ((i · i) · (B · B)))
18 mul4 6902 . . . . . . . . 9 (((i i ℂ) (B B ℂ)) → ((i · i) · (B · B)) = ((i · B) · (i · B)))
192, 2, 18mpanl12 412 . . . . . . . 8 ((B B ℂ) → ((i · i) · (B · B)) = ((i · B) · (i · B)))
2017, 19eqtrd 2069 . . . . . . 7 ((B B ℂ) → -(B · B) = ((i · B) · (i · B)))
2120anidms 377 . . . . . 6 (B ℂ → -(B · B) = ((i · B) · (i · B)))
2221adantl 262 . . . . 5 ((A B ℂ) → -(B · B) = ((i · B) · (i · B)))
2312, 22oveq12d 5473 . . . 4 ((A B ℂ) → ((A · (i · B)) − -(B · B)) = (((i · B) · A) − ((i · B) · (i · B))))
2410, 23eqtr4d 2072 . . 3 ((A B ℂ) → ((i · B) · (A − (i · B))) = ((A · (i · B)) − -(B · B)))
259, 24oveq12d 5473 . 2 ((A B ℂ) → ((A · (A − (i · B))) + ((i · B) · (A − (i · B)))) = (((A · A) − (A · (i · B))) + ((A · (i · B)) − -(B · B))))
26 mulcl 6766 . . . . . 6 ((A A ℂ) → (A · A) ℂ)
2726anidms 377 . . . . 5 (A ℂ → (A · A) ℂ)
2827adantr 261 . . . 4 ((A B ℂ) → (A · A) ℂ)
29 mulcl 6766 . . . . 5 ((A (i · B) ℂ) → (A · (i · B)) ℂ)
304, 29sylan2 270 . . . 4 ((A B ℂ) → (A · (i · B)) ℂ)
3115negcld 7065 . . . . . 6 ((B B ℂ) → -(B · B) ℂ)
3231anidms 377 . . . . 5 (B ℂ → -(B · B) ℂ)
3332adantl 262 . . . 4 ((A B ℂ) → -(B · B) ℂ)
3428, 30, 33npncand 7102 . . 3 ((A B ℂ) → (((A · A) − (A · (i · B))) + ((A · (i · B)) − -(B · B))) = ((A · A) − -(B · B)))
3515anidms 377 . . . 4 (B ℂ → (B · B) ℂ)
36 subneg 7016 . . . 4 (((A · A) (B · B) ℂ) → ((A · A) − -(B · B)) = ((A · A) + (B · B)))
3727, 35, 36syl2an 273 . . 3 ((A B ℂ) → ((A · A) − -(B · B)) = ((A · A) + (B · B)))
3834, 37eqtrd 2069 . 2 ((A B ℂ) → (((A · A) − (A · (i · B))) + ((A · (i · B)) − -(B · B))) = ((A · A) + (B · B)))
398, 25, 383eqtrd 2073 1 ((A B ℂ) → ((A + (i · B)) · (A − (i · B))) = ((A · A) + (B · B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  1c1 6672  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939  -cneg 6940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-neg 6942
This theorem is referenced by:  recexap  7376
  Copyright terms: Public domain W3C validator