Theorem remullem 9471

Description: Lemma for remul 9472, immul 9479, and cjmul 9485. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
remullem	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) /\ ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) /\ ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) ) )

Proof of Theorem remullem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 9459	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2		replim 9459	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
3	1, 2	oveqan12d 5531	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
4		recl 9453	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
5	4	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
6	5	recnd 7054	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
7		ax-icn 6979	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
8		imcl 9454	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
9	8	adantr 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
10	9	recnd 7054	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
11		mulcl 7008	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
12	7, 10, 11	sylancr 393	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
13	6, 12	addcld 7046	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
14		recl 9453	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
15	14	adantl 262	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
16	15	recnd 7054	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
17		imcl 9454	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
18	17	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
19	18	recnd 7054	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
20		mulcl 7008	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
21	7, 19, 20	sylancr 393	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
22	13, 16, 21	adddid 7051	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
23	6, 12, 16	adddird 7052	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( Re ` B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) )
24	6, 12, 21	adddird 7052	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
25	23, 24	oveq12d 5530	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) + ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) )
26	5, 15	remulcld 7056	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. RR )
27	26	recnd 7054	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
28	12, 21	mulcld 7047	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) e. CC )
29	12, 16	mulcld 7047	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
30	6, 21	mulcld 7047	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) e. CC )
31	27, 28, 29, 30	add42d 7181	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) + ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) + ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) )
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
33	32, 10, 32, 19	mul4d 7168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
34		ixi 7574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. _i ) = -u 1
35	34	oveq1i 5522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
36	9, 18	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. RR )
37	36	recnd 7054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
38	37	mulm1d 7407	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u 1 x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
39	35, 38	syl5eq 2084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
40	33, 39	eqtrd 2072	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
41	40	oveq2d 5528	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
42	27, 37	negsubd 7328	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
43	41, 42	eqtrd 2072	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
44	9, 15	remulcld 7056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. RR )
45	44	recnd 7054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
46		mulcl 7008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. CC )
47	7, 45, 46	sylancr 393	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. CC )
48	5, 18	remulcld 7056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. RR )
49	48	recnd 7054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
50		mulcl 7008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. CC )
51	7, 49, 50	sylancr 393	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. CC )
52	47, 51	addcomd 7164	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) )
53	32, 10, 16	mulassd 7050	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) = ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
54	6, 32, 19	mul12d 7165	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
55	53, 54	oveq12d 5530	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) )
56	32, 49, 45	adddid 7051	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) )
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2082	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) )
58	43, 57	oveq12d 5530	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) + ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) )
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2078	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) )
60	3, 22, 59	3eqtrd 2076	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) )
61	60	fveq2d 5182	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( Re ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) )
62	26, 36	resubcld 7379	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. RR )
63	48, 44	readdcld 7055	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. RR )
64		crre 9457	. . . 4 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. RR /\ ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
65	62, 63, 64	syl2anc 391	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
66	61, 65	eqtrd 2072	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
67	60	fveq2d 5182	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( Im ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) )
68		crim 9458	. . . 4 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. RR /\ ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
69	62, 63, 68	syl2anc 391	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
70	67, 69	eqtrd 2072	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) )
71		mulcl 7008	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
72		remim 9460	. . . 4 |- ( ( A x. B ) e. CC -> ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) )
73	71, 72	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) )
74		remim 9460	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
75		remim 9460	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( * ` B ) = ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
76	74, 75	oveqan12d 5531	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
77	16, 21	subcld 7322	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) e. CC )
78	6, 12, 77	subdird 7412	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) )
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 7370	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) ) )
80	6, 16, 21	subdid 7411	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
81	12, 16, 21	subdid 7411	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
82	80, 81	oveq12d 5530	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) )
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2082	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
84	70	oveq2d 5528	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) = ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) )
85	54, 53	oveq12d 5530	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) )
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2082	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) )
87	83, 86	oveq12d 5530	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) ) )
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2082	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) )
89	76, 78, 88	3eqtrd 2076	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) = ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) )
90	73, 89	eqtr4d 2075	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) )
91	66, 70, 90	3jca 1084	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) /\ ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) /\ ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   1c1 6890   _ici 6891   + caddc 6892   x. cmul 6894   - cmin 7182   -ucneg 7183   *ccj 9439   Recre 9440   Imcim 9441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-2 7973  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444

This theorem is referenced by:  remul  9472  immul  9479  cjmul  9485