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Theorem remullem 9079
Description: Lemma for remul 9080, immul 9087, and cjmul 9093. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem  CC  CC  Re `  x.  Re `  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  Im `  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  * `  x.  * `
 x.  * `

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 9067 . . . . . 6  CC  Re `  +  _i  x.  Im `
2 replim 9067 . . . . . 6  CC  Re `  +  _i  x.  Im `
31, 2oveqan12d 5474 . . . . 5  CC  CC  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `
4 recl 9061 . . . . . . . . 9  CC  Re `  RR
54adantr 261 . . . . . . . 8  CC  CC  Re `  RR
65recnd 6831 . . . . . . 7  CC  CC  Re `  CC
7 ax-icn 6758 . . . . . . . 8  _i  CC
8 imcl 9062 . . . . . . . . . 10  CC  Im `  RR
98adantr 261 . . . . . . . . 9  CC  CC  Im `  RR
109recnd 6831 . . . . . . . 8  CC  CC  Im `  CC
11 mulcl 6786 . . . . . . . 8  _i  CC  Im `  CC  _i  x.  Im `  CC
127, 10, 11sylancr 393 . . . . . . 7  CC  CC  _i  x.  Im `  CC
136, 12addcld 6824 . . . . . 6  CC  CC  Re `  +  _i  x.  Im `  CC
14 recl 9061 . . . . . . . 8  CC  Re `  RR
1514adantl 262 . . . . . . 7  CC  CC  Re `  RR
1615recnd 6831 . . . . . 6  CC  CC  Re `  CC
17 imcl 9062 . . . . . . . . 9  CC  Im `  RR
1817adantl 262 . . . . . . . 8  CC  CC  Im `  RR
1918recnd 6831 . . . . . . 7  CC  CC  Im `  CC
20 mulcl 6786 . . . . . . 7  _i  CC  Im `  CC  _i  x.  Im `  CC
217, 19, 20sylancr 393 . . . . . 6  CC  CC  _i  x.  Im `  CC
2213, 16, 21adddid 6829 . . . . 5  CC  CC  Re
`  +  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `
236, 12, 16adddird 6830 . . . . . . 7  CC  CC  Re
`  +  _i  x.  Im `  x.  Re
`  Re `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `
246, 12, 21adddird 6830 . . . . . . 7  CC  CC  Re
`  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  Re
`  x.  _i  x.  Im `  +  _i  x.  Im
`  x.  _i  x.  Im `
2523, 24oveq12d 5473 . . . . . 6  CC  CC  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  Re `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  Re `  x.  _i  x.  Im `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `
265, 15remulcld 6833 . . . . . . . 8  CC  CC  Re `  x.  Re `  RR
2726recnd 6831 . . . . . . 7  CC  CC  Re `  x.  Re `  CC
2812, 21mulcld 6825 . . . . . . 7  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  CC
2912, 16mulcld 6825 . . . . . . 7  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  Re
`  CC
306, 21mulcld 6825 . . . . . . 7  CC  CC  Re `  x.  _i  x.  Im `  CC
3127, 28, 29, 30add42d 6958 . . . . . 6  CC  CC  Re `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  +  _i  x.  Im `  x.  Re
`  +  Re
`  x.  _i  x.  Im `  Re `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  Re `  x.  _i  x.  Im `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `
327a1i 9 . . . . . . . . . . 11  CC  CC  _i  CC
3332, 10, 32, 19mul4d 6945 . . . . . . . . . 10  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  _i  x.  _i  x.  Im `  x.  Im `
34 ixi 7347 . . . . . . . . . . . 12  _i  x.  _i  -u 1
3534oveq1i 5465 . . . . . . . . . . 11  _i  x.  _i  x.  Im
`  x.  Im ` 
-u 1  x.  Im `  x.  Im `
369, 18remulcld 6833 . . . . . . . . . . . . 13  CC  CC  Im `  x.  Im `  RR
3736recnd 6831 . . . . . . . . . . . 12  CC  CC  Im `  x.  Im `  CC
3837mulm1d 7183 . . . . . . . . . . 11  CC  CC  -u 1  x.  Im `  x.  Im `  -u Im `  x.  Im `
3935, 38syl5eq 2081 . . . . . . . . . 10  CC  CC  _i  x.  _i  x.  Im `  x.  Im `  -u Im `  x.  Im `
4033, 39eqtrd 2069 . . . . . . . . 9  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  -u Im `  x.  Im `
4140oveq2d 5471 . . . . . . . 8  CC  CC  Re
`  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  Re
`  x.  Re `  +  -u Im `  x.  Im `
4227, 37negsubd 7104 . . . . . . . 8  CC  CC  Re
`  x.  Re `  +  -u Im `  x.  Im `  Re
`  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `
4341, 42eqtrd 2069 . . . . . . 7  CC  CC  Re
`  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  Re
`  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `
449, 15remulcld 6833 . . . . . . . . . . 11  CC  CC  Im `  x.  Re `  RR
4544recnd 6831 . . . . . . . . . 10  CC  CC  Im `  x.  Re `  CC
46 mulcl 6786 . . . . . . . . . 10  _i  CC  Im `  x.  Re `  CC  _i  x.  Im `  x.  Re `  CC
477, 45, 46sylancr 393 . . . . . . . . 9  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  Re `  CC
485, 18remulcld 6833 . . . . . . . . . . 11  CC  CC  Re `  x.  Im `  RR
4948recnd 6831 . . . . . . . . . 10  CC  CC  Re `  x.  Im `  CC
50 mulcl 6786 . . . . . . . . . 10  _i  CC  Re `  x.  Im `  CC  _i  x.  Re `  x.  Im `  CC
517, 49, 50sylancr 393 . . . . . . . . 9  CC  CC  _i  x.  Re `  x.  Im `  CC
5247, 51addcomd 6941 . . . . . . . 8  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  _i  x.  Re
`  x.  Im `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `
5332, 10, 16mulassd 6828 . . . . . . . . 9  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  Re
`  _i  x.  Im `  x.  Re `
546, 32, 19mul12d 6942 . . . . . . . . 9  CC  CC  Re `  x.  _i  x.  Im `  _i  x.  Re `  x.  Im `
5553, 54oveq12d 5473 . . . . . . . 8  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  Re
`  x.  _i  x.  Im `  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `
5632, 49, 45adddid 6829 . . . . . . . 8  CC  CC  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  _i  x.  Re
`  x.  Im `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `
5752, 55, 563eqtr4d 2079 . . . . . . 7  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  Re
`  x.  _i  x.  Im `  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `
5843, 57oveq12d 5473 . . . . . 6  CC  CC  Re `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  +  _i  x.  Im `  x.  Re
`  +  Re
`  x.  _i  x.  Im `  Re `  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `
5925, 31, 583eqtr2d 2075 . . . . 5  CC  CC  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `  +  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  Re `  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `
603, 22, 593eqtrd 2073 . . . 4  CC  CC  x.  Re `  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `
6160fveq2d 5125 . . 3  CC  CC  Re `  x.  Re `  Re
`  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `
6226, 36resubcld 7155 . . . 4  CC  CC  Re
`  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  RR
6348, 44readdcld 6832 . . . 4  CC  CC  Re
`  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  RR
64 crre 9065 . . . 4  Re
`  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  RR  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  RR  Re `  Re `  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  Re `  x.  Re `  -  Im
`  x.  Im `
6562, 63, 64syl2anc 391 . . 3  CC  CC  Re `  Re `  x.  Re `  -  Im
`  x.  Im `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  Re `  x.  Re `  -  Im
`  x.  Im `
6661, 65eqtrd 2069 . 2  CC  CC  Re `  x.  Re `  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `
6760fveq2d 5125 . . 3  CC  CC  Im `  x.  Im `  Re
`  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `
68 crim 9066 . . . 4  Re
`  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  RR  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  RR  Im `  Re `  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  Re `  x.  Im `  +  Im
`  x.  Re `
6962, 63, 68syl2anc 391 . . 3  CC  CC  Im `  Re `  x.  Re `  -  Im
`  x.  Im `  +  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  Re `  x.  Im `  +  Im
`  x.  Re `
7067, 69eqtrd 2069 . 2  CC  CC  Im `  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `
71 mulcl 6786 . . . 4  CC  CC  x.  CC
72 remim 9068 . . . 4  x.  CC  * `  x.  Re `  x.  -  _i  x.  Im `  x.
7371, 72syl 14 . . 3  CC  CC  * `  x.  Re
`  x.  -  _i  x.  Im `  x.
74 remim 9068 . . . . 5  CC  * `  Re `  -  _i  x.  Im `
75 remim 9068 . . . . 5  CC  * `  Re `  -  _i  x.  Im `
7674, 75oveqan12d 5474 . . . 4  CC  CC  * `  x.  * `  Re `  -  _i  x.  Im `  x.  Re `  -  _i  x.  Im `
7716, 21subcld 7098 . . . . 5  CC  CC  Re `  -  _i  x.  Im `  CC
786, 12, 77subdird 7188 . . . 4  CC  CC  Re
`  -  _i  x.  Im `  x.  Re `  -  _i  x.  Im `  Re
`  x.  Re `  -  _i  x.  Im `  -  _i  x.  Im `  x.  Re `  -  _i  x.  Im `
7927, 30, 29, 28subadd4d 7146 . . . . 5  CC  CC  Re `  x.  Re `  -  Re `  x.  _i  x.  Im `  -  _i  x.  Im `  x.  Re
`  -  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  Re `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  -  Re `  x.  _i  x.  Im `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `
806, 16, 21subdid 7187 . . . . . 6  CC  CC  Re `  x.  Re `  -  _i  x.  Im `  Re
`  x.  Re `  -  Re `  x.  _i  x.  Im `
8112, 16, 21subdid 7187 . . . . . 6  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  Re `  -  _i  x.  Im `  _i  x.  Im `  x.  Re `  -  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `
8280, 81oveq12d 5473 . . . . 5  CC  CC  Re
`  x.  Re `  -  _i  x.  Im `  -  _i  x.  Im `  x.  Re `  -  _i  x.  Im `  Re `  x.  Re `  -  Re `  x.  _i  x.  Im `  -  _i  x.  Im `  x.  Re
`  -  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `
8365, 61, 433eqtr4d 2079 . . . . . 6  CC  CC  Re `  x.  Re `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `
8470oveq2d 5471 . . . . . . 7  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `
8554, 53oveq12d 5473 . . . . . . 7  CC  CC  Re
`  x.  _i  x.  Im `  +  _i  x.  Im
`  x.  Re `  _i  x.  Re `  x.  Im `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `
8656, 84, 853eqtr4d 2079 . . . . . 6  CC  CC  _i  x.  Im `  x.  Re
`  x.  _i  x.  Im `  +  _i  x.  Im
`  x.  Re `
8783, 86oveq12d 5473 . . . . 5  CC  CC  Re `  x.  -  _i  x.  Im `  x.  Re `  x.  Re `  +  _i  x.  Im `  x.  _i  x.  Im `  -  Re `  x.  _i  x.  Im `  +  _i  x.  Im `  x.  Re `
8879, 82, 873eqtr4d 2079 . . . 4  CC  CC  Re
`  x.  Re `  -  _i  x.  Im `  -  _i  x.  Im `  x.  Re `  -  _i  x.  Im `  Re
`  x.  -  _i  x.  Im `  x.
8976, 78, 883eqtrd 2073 . . 3  CC  CC  * `  x.  * `  Re `  x.  -  _i  x.  Im `  x.
9073, 89eqtr4d 2072 . 2  CC  CC  * `  x.  * `
 x.  * `
9166, 70, 903jca 1083 1  CC  CC  Re `  x.  Re `  x.  Re `  -  Im `  x.  Im `  Im `  x.  Re `  x.  Im `  +  Im `  x.  Re `  * `  x.  * `
 x.  * `
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   CCcc 6689   RRcr 6690   1c1 6692   _ici 6693    + caddc 6694    x. cmul 6696    - cmin 6959   -ucneg 6960   *ccj 9047   Recre 9048   Imcim 9049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414  df-2 7733  df-cj 9050  df-re 9051  df-im 9052
This theorem is referenced by:  remul  9080  immul  9087  cjmul  9093
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