ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  remim Structured version   GIF version

Theorem remim 9048
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim (A ℂ → (∗‘A) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))

Proof of Theorem remim
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 9033 . 2 (A ℂ → (∗‘A) = (x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ)))
2 replim 9047 . . . . . 6 (A ℂ → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
32oveq1d 5470 . . . . 5 (A ℂ → (A + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) = (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))))
4 recl 9041 . . . . . . 7 (A ℂ → (ℜ‘A) ℝ)
54recnd 6811 . . . . . 6 (A ℂ → (ℜ‘A) ℂ)
6 ax-icn 6738 . . . . . . 7 i
7 imcl 9042 . . . . . . . 8 (A ℂ → (ℑ‘A) ℝ)
87recnd 6811 . . . . . . 7 (A ℂ → (ℑ‘A) ℂ)
9 mulcl 6766 . . . . . . 7 ((i (ℑ‘A) ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
106, 8, 9sylancr 393 . . . . . 6 (A ℂ → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
115, 10, 5ppncand 7118 . . . . 5 (A ℂ → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) = ((ℜ‘A) + (ℜ‘A)))
123, 11eqtrd 2069 . . . 4 (A ℂ → (A + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) = ((ℜ‘A) + (ℜ‘A)))
134, 4readdcld 6812 . . . 4 (A ℂ → ((ℜ‘A) + (ℜ‘A)) ℝ)
1412, 13eqeltrd 2111 . . 3 (A ℂ → (A + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) ℝ)
155, 10, 10pnncand 7117 . . . . . . 7 (A ℂ → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) = ((i · (ℑ‘A)) + (i · (ℑ‘A))))
162oveq1d 5470 . . . . . . 7 (A ℂ → (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) = (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))))
176a1i 9 . . . . . . . 8 (A ℂ → i ℂ)
1817, 8, 8adddid 6809 . . . . . . 7 (A ℂ → (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A))) = ((i · (ℑ‘A)) + (i · (ℑ‘A))))
1915, 16, 183eqtr4d 2079 . . . . . 6 (A ℂ → (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) = (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A))))
2019oveq2d 5471 . . . . 5 (A ℂ → (i · (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))) = (i · (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A)))))
217, 7readdcld 6812 . . . . . . 7 (A ℂ → ((ℑ‘A) + (ℑ‘A)) ℝ)
2221recnd 6811 . . . . . 6 (A ℂ → ((ℑ‘A) + (ℑ‘A)) ℂ)
23 mulass 6770 . . . . . . 7 ((i i ((ℑ‘A) + (ℑ‘A)) ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A))) = (i · (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A)))))
246, 6, 23mp3an12 1221 . . . . . 6 (((ℑ‘A) + (ℑ‘A)) ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A))) = (i · (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A)))))
2522, 24syl 14 . . . . 5 (A ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A))) = (i · (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A)))))
2620, 25eqtr4d 2072 . . . 4 (A ℂ → (i · (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))) = ((i · i) · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A))))
27 ixi 7327 . . . . . 6 (i · i) = -1
28 neg1rr 7761 . . . . . 6 -1
2927, 28eqeltri 2107 . . . . 5 (i · i)
30 remulcl 6767 . . . . 5 (((i · i) ((ℑ‘A) + (ℑ‘A)) ℝ) → ((i · i) · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A))) ℝ)
3129, 21, 30sylancr 393 . . . 4 (A ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘A) + (ℑ‘A))) ℝ)
3226, 31eqeltrd 2111 . . 3 (A ℂ → (i · (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))) ℝ)
335, 10subcld 7078 . . . 4 (A ℂ → ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) ℂ)
34 cju 7654 . . . 4 (A ℂ → ∃!x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ))
35 oveq2 5463 . . . . . . 7 (x = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) → (A + x) = (A + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))))
3635eleq1d 2103 . . . . . 6 (x = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) → ((A + x) ℝ ↔ (A + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) ℝ))
37 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (x = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) → (Ax) = (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))))
3837oveq2d 5471 . . . . . . 7 (x = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) → (i · (Ax)) = (i · (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))))
3938eleq1d 2103 . . . . . 6 (x = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) → ((i · (Ax)) ℝ ↔ (i · (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))) ℝ))
4036, 39anbi12d 442 . . . . 5 (x = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) → (((A + x) (i · (Ax)) ℝ) ↔ ((A + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) (i · (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))) ℝ)))
4140riota2 5433 . . . 4 ((((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))) ∃!x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ)) → (((A + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) (i · (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))) ℝ) ↔ (x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ)) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))))
4233, 34, 41syl2anc 391 . . 3 (A ℂ → (((A + ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) (i · (A − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))) ℝ) ↔ (x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ)) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))))
4314, 32, 42mpbi2and 849 . 2 (A ℂ → (x ℂ ((A + x) (i · (Ax)) ℝ)) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))
441, 43eqtrd 2069 1 (A ℂ → (∗‘A) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  ∃!wreu 2302  cfv 4845  crio 5410  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  1c1 6672  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939  -cneg 6940  ccj 9027  cre 9028  cim 9029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-2 7713  df-cj 9030  df-re 9031  df-im 9032
This theorem is referenced by:  cjreb  9054  recj  9055  remullem  9059  imcj  9063  cjadd  9072  cjneg  9078  imval2  9082  cji  9090  remimd  9130
  Copyright terms: Public domain W3C validator