ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  crim Structured version   GIF version

Theorem crim 9066
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crim ((A B ℝ) → (ℑ‘(A + (i · B))) = B)

Proof of Theorem crim
StepHypRef Expression
1 recn 6792 . . . 4 (A ℝ → A ℂ)
2 ax-icn 6758 . . . . 5 i
3 recn 6792 . . . . 5 (B ℝ → B ℂ)
4 mulcl 6786 . . . . 5 ((i B ℂ) → (i · B) ℂ)
52, 3, 4sylancr 393 . . . 4 (B ℝ → (i · B) ℂ)
6 addcl 6784 . . . 4 ((A (i · B) ℂ) → (A + (i · B)) ℂ)
71, 5, 6syl2an 273 . . 3 ((A B ℝ) → (A + (i · B)) ℂ)
8 imval 9058 . . 3 ((A + (i · B)) ℂ → (ℑ‘(A + (i · B))) = (ℜ‘((A + (i · B)) / i)))
97, 8syl 14 . 2 ((A B ℝ) → (ℑ‘(A + (i · B))) = (ℜ‘((A + (i · B)) / i)))
102, 4mpan 400 . . . . . 6 (B ℂ → (i · B) ℂ)
11 iap0 7905 . . . . . . 7 i # 0
12 divdirap 7436 . . . . . . . 8 ((A (i · B) (i i # 0)) → ((A + (i · B)) / i) = ((A / i) + ((i · B) / i)))
13123expa 1103 . . . . . . 7 (((A (i · B) ℂ) (i i # 0)) → ((A + (i · B)) / i) = ((A / i) + ((i · B) / i)))
142, 11, 13mpanr12 415 . . . . . 6 ((A (i · B) ℂ) → ((A + (i · B)) / i) = ((A / i) + ((i · B) / i)))
1510, 14sylan2 270 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((A + (i · B)) / i) = ((A / i) + ((i · B) / i)))
16 divrecap2 7430 . . . . . . . 8 ((A i i # 0) → (A / i) = ((1 / i) · A))
172, 11, 16mp3an23 1223 . . . . . . 7 (A ℂ → (A / i) = ((1 / i) · A))
18 irec 8985 . . . . . . . . 9 (1 / i) = -i
1918oveq1i 5465 . . . . . . . 8 ((1 / i) · A) = (-i · A)
2019a1i 9 . . . . . . 7 (A ℂ → ((1 / i) · A) = (-i · A))
21 mulneg12 7170 . . . . . . . 8 ((i A ℂ) → (-i · A) = (i · -A))
222, 21mpan 400 . . . . . . 7 (A ℂ → (-i · A) = (i · -A))
2317, 20, 223eqtrd 2073 . . . . . 6 (A ℂ → (A / i) = (i · -A))
24 divcanap3 7437 . . . . . . 7 ((B i i # 0) → ((i · B) / i) = B)
252, 11, 24mp3an23 1223 . . . . . 6 (B ℂ → ((i · B) / i) = B)
2623, 25oveqan12d 5474 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((A / i) + ((i · B) / i)) = ((i · -A) + B))
27 negcl 6988 . . . . . . 7 (A ℂ → -A ℂ)
28 mulcl 6786 . . . . . . 7 ((i -A ℂ) → (i · -A) ℂ)
292, 27, 28sylancr 393 . . . . . 6 (A ℂ → (i · -A) ℂ)
30 addcom 6927 . . . . . 6 (((i · -A) B ℂ) → ((i · -A) + B) = (B + (i · -A)))
3129, 30sylan 267 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((i · -A) + B) = (B + (i · -A)))
3215, 26, 313eqtrrd 2074 . . . 4 ((A B ℂ) → (B + (i · -A)) = ((A + (i · B)) / i))
331, 3, 32syl2an 273 . . 3 ((A B ℝ) → (B + (i · -A)) = ((A + (i · B)) / i))
3433fveq2d 5125 . 2 ((A B ℝ) → (ℜ‘(B + (i · -A))) = (ℜ‘((A + (i · B)) / i)))
35 id 19 . . 3 (B ℝ → B ℝ)
36 renegcl 7048 . . 3 (A ℝ → -A ℝ)
37 crre 9065 . . 3 ((B -A ℝ) → (ℜ‘(B + (i · -A))) = B)
3835, 36, 37syl2anr 274 . 2 ((A B ℝ) → (ℜ‘(B + (i · -A))) = B)
399, 34, 383eqtr2d 2075 1 ((A B ℝ) → (ℑ‘(A + (i · B))) = B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6689  cr 6690  0cc0 6691  1c1 6692  ici 6693   + caddc 6694   · cmul 6696  -cneg 6960   # cap 7345   / cdiv 7413  cre 9048  cim 9049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414  df-2 7733  df-cj 9050  df-re 9051  df-im 9052
This theorem is referenced by:  replim  9067  reim0  9069  remullem  9079  imcj  9083  imneg  9084  imadd  9085  imi  9108  crimi  9145  crimd  9184
  Copyright terms: Public domain W3C validator