Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  crim GIF version

Theorem crim 9458
 Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crim ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem crim
StepHypRef Expression
1 recn 7014 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-icn 6979 . . . . 5 i ∈ ℂ
3 recn 7014 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 mulcl 7008 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 393 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6 addcl 7006 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
71, 5, 6syl2an 273 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8 imval 9450 . . 3 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
97, 8syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
102, 4mpan 400 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
11 iap0 8148 . . . . . . 7 i # 0
12 divdirap 7674 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
13123expa 1104 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
142, 11, 13mpanr12 415 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
1510, 14sylan2 270 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
16 divrecap2 7668 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i # 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
172, 11, 16mp3an23 1224 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
18 irec 9352 . . . . . . . . 9 (1 / i) = -i
1918oveq1i 5522 . . . . . . . 8 ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴)
2019a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴))
21 mulneg12 7394 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
222, 21mpan 400 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
2317, 20, 223eqtrd 2076 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = (i · -𝐴))
24 divcanap3 7675 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i # 0) → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
252, 11, 24mp3an23 1224 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
2623, 25oveqan12d 5531 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)) = ((i · -𝐴) + 𝐵))
27 negcl 7211 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
28 mulcl 7008 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
292, 27, 28sylancr 393 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
30 addcom 7150 . . . . . 6 (((i · -𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
3129, 30sylan 267 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
3215, 26, 313eqtrrd 2077 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
331, 3, 32syl2an 273 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
3433fveq2d 5182 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
35 id 19 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
36 renegcl 7272 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
37 crre 9457 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
3835, 36, 37syl2anr 274 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
399, 34, 383eqtr2d 2078 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890  ici 6891   + caddc 6892   · cmul 6894  -cneg 7183   # cap 7572   / cdiv 7651  ℜcre 9440  ℑcim 9441 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-2 7973  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444 This theorem is referenced by:  replim  9459  reim0  9461  remullem  9471  imcj  9475  imneg  9476  imadd  9477  imi  9500  crimi  9537  crimd  9577  absreimsq  9665
 Copyright terms: Public domain W3C validator