Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnegap0 GIF version

Theorem expnegap0 9263
 Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expnegap0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem expnegap0
StepHypRef Expression
1 elnn0 8183 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnne0 7942 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
32adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4 nncn 7922 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
54adantl 262 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
65negeq0d 7314 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
76necon3abid 2244 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
83, 7mpbid 135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
98iffalsed 3341 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁))))
10 nnnn0 8188 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1110adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12 nn0nlt0 8208 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
1411nn0red 8236 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1514lt0neg1d 7507 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
1613, 15mtbid 597 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
1716iffalsed 3341 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))
185negnegd 7313 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
1918fveq2d 5182 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁))
2019oveq2d 5528 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
219, 17, 203eqtrd 2076 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
2221adantlr 446 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
23 simp1 904 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
24 simp3 906 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2524nnzd 8359 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2625znegcld 8362 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
27 simp2 905 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 # 0)
2827orcd 652 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ -𝑁))
29 expival 9257 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ -𝑁)) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))))
3023, 26, 28, 29syl3anc 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))))
31303expa 1104 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))))
32 expinnval 9258 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁))
3332oveq2d 5528 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
3433adantlr 446 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
3522, 31, 343eqtr4d 2082 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
36 1div1e1 7681 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
3736eqcomi 2044 . . . . . 6 1 = (1 / 1)
38 negeq 7204 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
39 neg0 7257 . . . . . . . . 9 -0 = 0
4038, 39syl6eq 2088 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
4140oveq2d 5528 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝐴↑-𝑁) = (𝐴↑0))
42 exp0 9259 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
4341, 42sylan9eqr 2094 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = 1)
44 oveq2 5520 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
4544, 42sylan9eqr 2094 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
4645oveq2d 5528 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / 1))
4737, 43, 463eqtr4a 2098 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
4847adantlr 446 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
4935, 48jaodan 710 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
501, 49sylan2b 271 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
51503impa 1099 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  ifcif 3331  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  0cc0 6889  1c1 6890   · cmul 6894   < clt 7060   ≤ cle 7061  -cneg 7183   # cap 7572   / cdiv 7651  ℕcn 7914  ℕ0cn0 8181  ℤcz 8245  seqcseq 9211  ↑cexp 9254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212  df-iexp 9255 This theorem is referenced by:  expineg2  9264  expn1ap0  9265  expnegzap  9289
 Copyright terms: Public domain W3C validator