ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnegap0 Unicode version

Theorem expnegap0 8917
Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expnegap0  CC #  0  N 
NN0  ^ -u N  1  ^ N

Proof of Theorem expnegap0
StepHypRef Expression
1 elnn0 7959 . . 3  N  NN0  N  NN  N  0
2 nnne0 7723 . . . . . . . . . 10  N  NN  N  =/=  0
32adantl 262 . . . . . . . . 9  CC  N  NN  N  =/=  0
4 nncn 7703 . . . . . . . . . . . 12  N  NN  N  CC
54adantl 262 . . . . . . . . . . 11  CC  N  NN  N  CC
65negeq0d 7110 . . . . . . . . . 10  CC  N  NN  N  0 
-u N  0
76necon3abid 2238 . . . . . . . . 9  CC  N  NN  N  =/=  0  -u N  0
83, 7mpbid 135 . . . . . . . 8  CC  N  NN  -u N  0
98iffalsed 3335 . . . . . . 7  CC  N  NN  if -u N  0 ,  1 ,  if 0  <  -u N , 
seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u N ,  1  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  -u -u N  if 0  <  -u N ,  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  -u N ,  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u -u N
10 nnnn0 7964 . . . . . . . . . . 11  N  NN  N  NN0
1110adantl 262 . . . . . . . . . 10  CC  N  NN  N  NN0
12 nn0nlt0 7984 . . . . . . . . . 10  N  NN0  N  <  0
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9  CC  N  NN  N  <  0
1411nn0red 8012 . . . . . . . . . 10  CC  N  NN  N  RR
1514lt0neg1d 7302 . . . . . . . . 9  CC  N  NN  N  <  0 
0  <  -u N
1613, 15mtbid 596 . . . . . . . 8  CC  N  NN  0  <  -u N
1716iffalsed 3335 . . . . . . 7  CC  N  NN  if 0  <  -u N ,  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u N ,  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u -u N  1  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  -u -u N
185negnegd 7109 . . . . . . . . 9  CC  N  NN  -u -u N  N
1918fveq2d 5125 . . . . . . . 8  CC  N  NN  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  -u -u N  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  N
2019oveq2d 5471 . . . . . . 7  CC  N  NN  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u -u N  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  N
219, 17, 203eqtrd 2073 . . . . . 6  CC  N  NN  if -u N  0 ,  1 ,  if 0  <  -u N , 
seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u N ,  1  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  -u -u N  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  N
2221adantlr 446 . . . . 5  CC #  0  N  NN  if -u N  0 ,  1 ,  if 0  <  -u N , 
seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u N ,  1  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  -u -u N  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  N
23 simp1 903 . . . . . . 7  CC #  0  N  NN  CC
24 simp3 905 . . . . . . . . 9  CC #  0  N  NN  N  NN
2524nnzd 8135 . . . . . . . 8  CC #  0  N  NN  N  ZZ
2625znegcld 8138 . . . . . . 7  CC #  0  N  NN  -u N  ZZ
27 simp2 904 . . . . . . . 8  CC #  0  N  NN #  0
2827orcd 651 . . . . . . 7  CC #  0  N  NN #  0  0  <_ 
-u N
29 expival 8911 . . . . . . 7  CC  -u N  ZZ #  0  0  <_  -u N  ^ -u N  if -u N  0 ,  1 ,  if 0  <  -u N ,  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  -u N ,  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u -u N
3023, 26, 28, 29syl3anc 1134 . . . . . 6  CC #  0  N  NN  ^ -u N  if -u N  0 , 
1 ,  if 0  <  -u N ,  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  -u N ,  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u -u N
31303expa 1103 . . . . 5  CC #  0  N  NN  ^ -u N  if -u N  0 ,  1 ,  if 0  <  -u N ,  seq 1  x.  ,  NN 
X.  { } ,  CC `  -u N ,  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  -u -u N
32 expinnval 8912 . . . . . . 7  CC  N  NN  ^ N  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  N
3332oveq2d 5471 . . . . . 6  CC  N  NN  1  ^ N  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  N
3433adantlr 446 . . . . 5  CC #  0  N  NN  1  ^ N  1  seq 1  x.  ,  NN  X.  { } ,  CC `  N
3522, 31, 343eqtr4d 2079 . . . 4  CC #  0  N  NN  ^ -u N  1  ^ N
36 1div1e1 7463 . . . . . . 7  1  1  1
3736eqcomi 2041 . . . . . 6  1  1  1
38 negeq 7001 . . . . . . . . 9  N  0  -u N  -u 0
39 neg0 7053 . . . . . . . . 9  -u 0  0
4038, 39syl6eq 2085 . . . . . . . 8  N  0  -u N  0
4140oveq2d 5471 . . . . . . 7  N  0  ^ -u N  ^
0
42 exp0 8913 . . . . . . 7  CC  ^ 0  1
4341, 42sylan9eqr 2091 . . . . . 6  CC  N  0  ^ -u N  1
44 oveq2 5463 . . . . . . . 8  N  0  ^ N  ^ 0
4544, 42sylan9eqr 2091 . . . . . . 7  CC  N  0  ^ N  1
4645oveq2d 5471 . . . . . 6  CC  N  0  1  ^ N  1 
1
4737, 43, 463eqtr4a 2095 . . . . 5  CC  N  0  ^ -u N  1  ^ N
4847adantlr 446 . . . 4  CC #  0  N  0  ^ -u N  1  ^ N
4935, 48jaodan 709 . . 3  CC #  0  N  NN  N  0  ^ -u N  1  ^ N
501, 49sylan2b 271 . 2  CC #  0  N  NN0  ^ -u N  1  ^ N
51503impa 1098 1  CC #  0  N 
NN0  ^ -u N  1  ^ N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201   ifcif 3325   {csn 3367   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   CCcc 6709   0cc0 6711   1c1 6712    x. cmul 6716    < clt 6857    <_ cle 6858   -ucneg 6980   # cap 7365   cdiv 7433   NNcn 7695   NN0cn0 7957   ZZcz 8021    seqcseq 8892   ^cexp 8908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909
This theorem is referenced by:  expineg2  8918  expn1ap0  8919  expnegzap  8943
  Copyright terms: Public domain W3C validator