Theorem elnn0 8183

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	|- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8182	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2104	. 2 |- ( A e. NN0 <-> A e. ( NN u. { 0 } ) )
3		elun 3084	. 2 |- ( A e. ( NN u. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) )
4		c0ex 7021	. . . 4 |- 0 e. _V
5	4	elsn2 3405	. . 3 |- ( A e. { 0 } <-> A = 0 )
6	5	orbi2i 679	. 2 |- ( ( A e. NN \/ A e. { 0 } ) <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
7	2, 3, 6	3bitri 195	1 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )

Syntax hints:   <-> wb 98   \/ wo 629   = wceq 1243   e. wcel 1393   u. cun 2915   {csn 3375   0cc0 6889   NNcn 7914   NN0cn0 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-mulcl 6982  ax-i2m1 6989

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-n0 8182

This theorem is referenced by:  0nn0  8196  nn0ge0  8207  nnnn0addcl  8212  nnm1nn0  8223  elnnnn0b  8226  elnn0z  8258  elznn0nn  8259  elznn0  8260  elznn  8261  nn0ind-raph  8355  expp1  9262  expnegap0  9263  expcllem  9266