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Theorem expival 9257

Description: Value of exponentiation to integer powers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
expival	$/\$ $/\$ # $\/$

Proof of Theorem expival Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3336	. . . . 5
2		ax-1cn 6977	. . . . 5
3	1, 2	syl6eqel 2128	. . . 4
4	3	a1i 9	. . 3 $/\$ $/\$ # $\/$
5		elnnz 8255	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
6		elnnuz 8509	. . . . . . . . . . . . . 14
7	5, 6	bitr3i 175	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
8	7	biimpi 113	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
9	8	adantll 445	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
10		cnex 7005	. . . . . . . . . . . 12
11	10	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
12		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
13		elnnuz 8509	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14		fvconst2g 5375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
15	13, 14	sylan2br 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
16	15	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
17	12, 16	mpbird 156	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
18	17	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
19	18	adantlr 446	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
20		mulcl 7008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
21	20	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	9, 11, 19, 21	iseqcl 9223	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
23		iftrue 3336	. . . . . . . . . . . 12
24	23	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . 11
25	24	adantl 262	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
26	22, 25	mpbird 156	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
27	26	ex 108	. . . . . . . 8 $/\$
28	27	adantr 261	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
29	28	3adantl3 1062	. . . . . 6 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
30		simpll2 944	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
31	30	znegcld 8362	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
32		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
33	30	zred 8360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
34		0red 7028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
35	33, 34	lenltd 7134	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
36	32, 35	mpbird 156	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
37		simplr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
38	37	neneqad 2284	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
39	38	necomd 2291	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
40		0z 8256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41		zltlen 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpan2 401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
43	42	3ad2ant2 926	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
44	43	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
45	36, 39, 44	mpbir2and 851	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
46	33	lt0neg1d 7507	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
47	45, 46	mpbid 135	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
48		elnnz 8255	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
49	31, 47, 48	sylanbrc 394	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
50		elnnuz 8509	. . . . . . . . . . 11
51	49, 50	sylib 127	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
52	10	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
53	17	3ad2antl1 1066	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
54	53	adantlr 446	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
55	54	adantlr 446	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
56	20	adantl 262	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	51, 52, 55, 56	iseqcl 9223	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
58		simpll1 943	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
59		expivallem 9256	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ #
60	59	3com23 1110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # #
61	60	3expia 1106	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
62	58, 49, 61	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ # #
63	39	neneqd 2226	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
64		ioran 669	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$
65	32, 63, 64	sylanbrc 394	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
66		zleloe 8292	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$
67	40, 66	mpan 400	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
68	67	3ad2ant2 926	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $\/$
69	68	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
70	65, 69	mtbird 598	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
71	70	pm2.21d 549	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ #
72		simpll3 945	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ # $\/$
73	62, 71, 72	mpjaod 638	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ #
74	57, 73	recclapd 7757	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
75		iffalse 3339	. . . . . . . . . 10
76	75	eleq1d 2106	. . . . . . . . 9
77	76	adantl 262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
78	74, 77	mpbird 156	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
79	78	ex 108	. . . . . 6 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
80		zdclt 8318	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
81	40, 80	mpan 400	. . . . . . . . . 10 DECID
82		df-dc 743	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
83	81, 82	sylib 127	. . . . . . . . 9 $\/$
84	83	adantl 262	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
85	84	adantr 261	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
86	85	3adantl3 1062	. . . . . 6 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $\/$
87	29, 79, 86	mpjaod 638	. . . . 5 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
88		iffalse 3339	. . . . . . 7
89	88	eleq1d 2106	. . . . . 6
90	89	adantl 262	. . . . 5 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
91	87, 90	mpbird 156	. . . 4 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
92	91	ex 108	. . 3 $/\$ $/\$ # $\/$
93		zdceq 8316	. . . . . 6 $/\$ DECID
94	40, 93	mpan2 401	. . . . 5 DECID
95		df-dc 743	. . . . 5 DECID $\/$
96	94, 95	sylib 127	. . . 4 $\/$
97	96	3ad2ant2 926	. . 3 $/\$ $/\$ # $\/$ $\/$
98	4, 92, 97	mpjaod 638	. 2 $/\$ $/\$ # $\/$
99		sneq 3386	. . . . . . . 8
100	99	xpeq2d 4369	. . . . . . 7
101		iseqeq3 9216	. . . . . . 7
102	100, 101	syl 14	. . . . . 6
103	102	fveq1d 5180	. . . . 5
104	102	fveq1d 5180	. . . . . 6
105	104	oveq2d 5528	. . . . 5
106	103, 105	ifeq12d 3347	. . . 4
107	106	ifeq2d 3346	. . 3
108		eqeq1 2046	. . . 4
109		breq2 3768	. . . . 5
110		fveq2 5178	. . . . 5
111		negeq 7204	. . . . . . 7
112	111	fveq2d 5182	. . . . . 6
113	112	oveq2d 5528	. . . . 5
114	109, 110, 113	ifbieq12d 3354	. . . 4
115	108, 114	ifbieq2d 3352	. . 3
116		df-iexp 9255	. . 3
117	107, 115, 116	ovmpt2g 5635	. 2 $/\$ $/\$
118	98, 117	syld3an3 1180	1 $/\$ $/\$ # $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 97

wb 98 $\/$ wo 629 DECID wdc 742 $/\$ w3a 885

wceq 1243

wcel 1393

wne 2204

cvv 2557

cif 3331

csn 3375 class class class wbr 3764

cxp 4343

cfv 4902 (class class class)co 5512

cc 6887

cc0 6889

c1 6890

cmul 6894

clt 7060

cle 7061

cneg 7183 # cap 7572

cdiv 7651

cn 7914

cz 8245

cuz 8473

cseq 9211

cexp 9254

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311 ax-cnex 6975 ax-resscn 6976 ax-1cn 6977 ax-1re 6978 ax-icn 6979 ax-addcl 6980 ax-addrcl 6981 ax-mulcl 6982 ax-mulrcl 6983 ax-addcom 6984 ax-mulcom 6985 ax-addass 6986 ax-mulass 6987 ax-distr 6988 ax-i2m1 6989 ax-1rid 6991 ax-0id 6992 ax-rnegex 6993 ax-precex 6994 ax-cnre 6995 ax-pre-ltirr 6996 ax-pre-ltwlin 6997 ax-pre-lttrn 6998 ax-pre-apti 6999 ax-pre-ltadd 7000 ax-pre-mulgt0 7001 ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-nel 2207 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rmo 2314 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-if 3332 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-riota 5468 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-frec 5978 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-i1p 6565 df-iplp 6566 df-iltp 6568 df-enr 6811 df-nr 6812 df-ltr 6815 df-0r 6816 df-1r 6817 df-0 6896 df-1 6897 df-r 6899 df-lt 6902 df-pnf 7062 df-mnf 7063 df-xr 7064 df-ltxr 7065 df-le 7066 df-sub 7184 df-neg 7185 df-reap 7566 df-ap 7573 df-div 7652 df-inn 7915 df-n0 8182 df-z 8246 df-uz 8474 df-iseq 9212 df-iexp 9255

This theorem is referenced by: expinnval 9258 exp0 9259 expnegap0 9263

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