ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qmulcl Structured version   GIF version

Theorem qmulcl 8308
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl ((A B ℚ) → (A · B) ℚ)

Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 8293 . 2 (A ℚ ↔ x y A = (x / y))
2 elq 8293 . 2 (B ℚ ↔ z w B = (z / w))
3 zmulcl 8033 . . . . . . . . . . 11 ((x z ℤ) → (x · z) ℤ)
4 nnmulcl 7676 . . . . . . . . . . 11 ((y w ℕ) → (y · w) ℕ)
53, 4anim12i 321 . . . . . . . . . 10 (((x z ℤ) (y w ℕ)) → ((x · z) (y · w) ℕ))
65an4s 522 . . . . . . . . 9 (((x y ℕ) (z w ℕ)) → ((x · z) (y · w) ℕ))
76adantr 261 . . . . . . . 8 ((((x y ℕ) (z w ℕ)) (A = (x / y) B = (z / w))) → ((x · z) (y · w) ℕ))
8 oveq12 5464 . . . . . . . . 9 ((A = (x / y) B = (z / w)) → (A · B) = ((x / y) · (z / w)))
9 zcn 7986 . . . . . . . . . . . 12 (x ℤ → x ℂ)
10 zcn 7986 . . . . . . . . . . . 12 (z ℤ → z ℂ)
119, 10anim12i 321 . . . . . . . . . . 11 ((x z ℤ) → (x z ℂ))
1211ad2ant2r 478 . . . . . . . . . 10 (((x y ℕ) (z w ℕ)) → (x z ℂ))
13 nncn 7663 . . . . . . . . . . . . 13 (y ℕ → y ℂ)
14 nnap0 7684 . . . . . . . . . . . . 13 (y ℕ → y # 0)
1513, 14jca 290 . . . . . . . . . . . 12 (y ℕ → (y y # 0))
16 nncn 7663 . . . . . . . . . . . . 13 (w ℕ → w ℂ)
17 nnap0 7684 . . . . . . . . . . . . 13 (w ℕ → w # 0)
1816, 17jca 290 . . . . . . . . . . . 12 (w ℕ → (w w # 0))
1915, 18anim12i 321 . . . . . . . . . . 11 ((y w ℕ) → ((y y # 0) (w w # 0)))
2019ad2ant2l 477 . . . . . . . . . 10 (((x y ℕ) (z w ℕ)) → ((y y # 0) (w w # 0)))
21 divmuldivap 7430 . . . . . . . . . 10 (((x z ℂ) ((y y # 0) (w w # 0))) → ((x / y) · (z / w)) = ((x · z) / (y · w)))
2212, 20, 21syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((x y ℕ) (z w ℕ)) → ((x / y) · (z / w)) = ((x · z) / (y · w)))
238, 22sylan9eqr 2091 . . . . . . . 8 ((((x y ℕ) (z w ℕ)) (A = (x / y) B = (z / w))) → (A · B) = ((x · z) / (y · w)))
24 rspceov 5489 . . . . . . . . . 10 (((x · z) (y · w) (A · B) = ((x · z) / (y · w))) → v u ℕ (A · B) = (v / u))
25243expa 1103 . . . . . . . . 9 ((((x · z) (y · w) ℕ) (A · B) = ((x · z) / (y · w))) → v u ℕ (A · B) = (v / u))
26 elq 8293 . . . . . . . . 9 ((A · B) ℚ ↔ v u ℕ (A · B) = (v / u))
2725, 26sylibr 137 . . . . . . . 8 ((((x · z) (y · w) ℕ) (A · B) = ((x · z) / (y · w))) → (A · B) ℚ)
287, 23, 27syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((x y ℕ) (z w ℕ)) (A = (x / y) B = (z / w))) → (A · B) ℚ)
2928an4s 522 . . . . . 6 ((((x y ℕ) A = (x / y)) ((z w ℕ) B = (z / w))) → (A · B) ℚ)
3029exp43 354 . . . . 5 ((x y ℕ) → (A = (x / y) → ((z w ℕ) → (B = (z / w) → (A · B) ℚ))))
3130rexlimivv 2432 . . . 4 (x y A = (x / y) → ((z w ℕ) → (B = (z / w) → (A · B) ℚ)))
3231rexlimdvv 2433 . . 3 (x y A = (x / y) → (z w B = (z / w) → (A · B) ℚ))
3332imp 115 . 2 ((x y A = (x / y) z w B = (z / w)) → (A · B) ℚ)
341, 2, 33syl2anb 275 1 ((A B ℚ) → (A · B) ℚ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671   · cmul 6676   # cap 7325   / cdiv 7393  cn 7655  cz 7981  cq 8290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-q 8291
This theorem is referenced by:  qdivcl  8312  qexpcl  8885  qexpclz  8890  qsqcl  8938
  Copyright terms: Public domain W3C validator