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Theorem zmulcl 8053
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmulcl ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ℤ)

Proof of Theorem zmulcl
StepHypRef Expression
1 elznn0 8016 . 2 (𝑀 ℤ ↔ (𝑀 (𝑀 0 -𝑀 0)))
2 elznn0 8016 . 2 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0)))
3 nn0mulcl 7974 . . . . . . . . 9 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑀 · 𝑁) 0)
43orcd 651 . . . . . . . 8 ((𝑀 0 𝑁 0) → ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0))
54a1i 9 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((𝑀 0 𝑁 0) → ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0)))
6 remulcl 6787 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (𝑀 · 𝑁) ℝ)
75, 6jctild 299 . . . . . 6 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((𝑀 0 𝑁 0) → ((𝑀 · 𝑁) ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0))))
8 nn0mulcl 7974 . . . . . . . . 9 ((-𝑀 0 𝑁 0) → (-𝑀 · 𝑁) 0)
9 recn 6792 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ℝ → 𝑀 ℂ)
10 recn 6792 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ℝ → 𝑁 ℂ)
11 mulneg1 7168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 𝑁 ℂ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
129, 10, 11syl2an 273 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
1312eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((-𝑀 · 𝑁) 0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) 0))
148, 13syl5ib 143 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((-𝑀 0 𝑁 0) → -(𝑀 · 𝑁) 0))
15 olc 631 . . . . . . . 8 (-(𝑀 · 𝑁) 0 → ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0))
1614, 15syl6 29 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((-𝑀 0 𝑁 0) → ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0)))
1716, 6jctild 299 . . . . . 6 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((-𝑀 0 𝑁 0) → ((𝑀 · 𝑁) ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0))))
18 nn0mulcl 7974 . . . . . . . . 9 ((𝑀 0 -𝑁 0) → (𝑀 · -𝑁) 0)
19 mulneg2 7169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 𝑁 ℂ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
209, 10, 19syl2an 273 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
2120eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((𝑀 · -𝑁) 0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) 0))
2218, 21syl5ib 143 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((𝑀 0 -𝑁 0) → -(𝑀 · 𝑁) 0))
2322, 15syl6 29 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((𝑀 0 -𝑁 0) → ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0)))
2423, 6jctild 299 . . . . . 6 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((𝑀 0 -𝑁 0) → ((𝑀 · 𝑁) ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0))))
25 nn0mulcl 7974 . . . . . . . . 9 ((-𝑀 0 -𝑁 0) → (-𝑀 · -𝑁) 0)
26 mul2neg 7171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 𝑁 ℂ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
279, 10, 26syl2an 273 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
2827eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((-𝑀 · -𝑁) 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) 0))
2925, 28syl5ib 143 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((-𝑀 0 -𝑁 0) → (𝑀 · 𝑁) 0))
30 orc 632 . . . . . . . 8 ((𝑀 · 𝑁) 0 → ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0))
3129, 30syl6 29 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((-𝑀 0 -𝑁 0) → ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0)))
3231, 6jctild 299 . . . . . 6 ((𝑀 𝑁 ℝ) → ((-𝑀 0 -𝑁 0) → ((𝑀 · 𝑁) ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0))))
337, 17, 24, 32ccased 871 . . . . 5 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (((𝑀 0 -𝑀 0) (𝑁 0 -𝑁 0)) → ((𝑀 · 𝑁) ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0))))
34 elznn0 8016 . . . . 5 ((𝑀 · 𝑁) ℤ ↔ ((𝑀 · 𝑁) ((𝑀 · 𝑁) 0 -(𝑀 · 𝑁) 0)))
3533, 34syl6ibr 151 . . . 4 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (((𝑀 0 -𝑀 0) (𝑁 0 -𝑁 0)) → (𝑀 · 𝑁) ℤ))
3635imp 115 . . 3 (((𝑀 𝑁 ℝ) ((𝑀 0 -𝑀 0) (𝑁 0 -𝑁 0))) → (𝑀 · 𝑁) ℤ)
3736an4s 522 . 2 (((𝑀 (𝑀 0 -𝑀 0)) (𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0))) → (𝑀 · 𝑁) ℤ)
381, 2, 37syl2anb 275 1 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6689  cr 6690   · cmul 6696  -cneg 6960  0cn0 7937  cz 8001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002
This theorem is referenced by:  zdivmul  8086  msqznn  8094  zmulcld  8122  uz2mulcl  8301  qaddcl  8326  qmulcl  8328  qreccl  8331  fzctr  8741  zexpcl  8904  zesq  9000
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