Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmulcl GIF version

Theorem nnmulcl 7935
 Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
21eleq1d 2106 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
32imbi2d 219 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)))
4 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
54eleq1d 2106 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ))
65imbi2d 219 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ)))
7 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
87eleq1d 2106 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
98imbi2d 219 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝐵))
1110eleq1d 2106 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
1211imbi2d 219 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)))
13 nncn 7922 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 mulid1 7024 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1514eleq1d 2106 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 1) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
1615biimprd 147 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
1713, 16mpcom 32 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)
18 nnaddcl 7934 . . . . . . . 8 (((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
1918ancoms 255 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
20 nncn 7922 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
21 ax-1cn 6977 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
22 adddi 7013 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
2321, 22mp3an3 1221 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
2414oveq2d 5528 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
2524adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
2623, 25eqtrd 2072 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
2713, 20, 26syl2an 273 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
2827eleq1d 2106 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ))
2919, 28syl5ibr 145 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
3029exp4b 349 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))))
3130pm2.43b 46 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
3231a2d 23 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 7930 . 2 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
3433impcom 116 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  1c1 6890   + caddc 6892   · cmul 6894  ℕcn 7914 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-1rid 6991  ax-cnre 6995 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515  df-inn 7915 This theorem is referenced by:  nnmulcli  7936  nndivtr  7955  nnmulcld  7962  nn0mulcl  8218  qaddcl  8570  qmulcl  8572  modqmulnn  9184  nnexpcl  9268  nnsqcl  9323
 Copyright terms: Public domain W3C validator