Theorem mulid1 6822

Description: 1 is an identity element for multiplication. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulid1	⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)

Proof of Theorem mulid1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 6821	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
2		recn 6812	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → x ∈ ℂ)
3		ax-icn 6778	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 6812	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → y ∈ ℂ)
5		mulcl 6806	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (i · y) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 393	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℝ → (i · y) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 6776	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		adddir 6816	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ (i · y) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((x + (i · y)) · 1) = ((x · 1) + ((i · y) · 1)))
9	7, 8	mp3an3 1220	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ (i · y) ∈ ℂ) → ((x + (i · y)) · 1) = ((x · 1) + ((i · y) · 1)))
10	2, 6, 9	syl2an 273	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((x + (i · y)) · 1) = ((x · 1) + ((i · y) · 1)))
11		ax-1rid 6790	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → (x · 1) = x)
12		mulass 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · y) · 1) = (i · (y · 1)))
13	3, 7, 12	mp3an13 1222	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℂ → ((i · y) · 1) = (i · (y · 1)))
14	4, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → ((i · y) · 1) = (i · (y · 1)))
15		ax-1rid 6790	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (y · 1) = y)
16	15	oveq2d 5471	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → (i · (y · 1)) = (i · y))
17	14, 16	eqtrd 2069	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℝ → ((i · y) · 1) = (i · y))
18	11, 17	oveqan12d 5474	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((x · 1) + ((i · y) · 1)) = (x + (i · y)))
19	10, 18	eqtrd 2069	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((x + (i · y)) · 1) = (x + (i · y)))
20		oveq1 5462	. . . . 5 ⊢ (A = (x + (i · y)) → (A · 1) = ((x + (i · y)) · 1))
21		id 19	. . . . 5 ⊢ (A = (x + (i · y)) → A = (x + (i · y)))
22	20, 21	eqeq12d 2051	. . . 4 ⊢ (A = (x + (i · y)) → ((A · 1) = A ↔ ((x + (i · y)) · 1) = (x + (i · y))))
23	19, 22	syl5ibrcom 146	. . 3 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (A = (x + (i · y)) → (A · 1) = A))
24	23	rexlimivv 2432	. 2 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)) → (A · 1) = A)
25	1, 24	syl 14	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  1c1 6712  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-mulcl 6781  ax-mulcom 6784  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-1rid 6790  ax-cnre 6794

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458

This theorem is referenced by:  mulid2  6823  mulid1i  6827  mulid1d  6842  muleqadd  7431  divdivap1  7481  conjmulap  7487  nnmulcl  7716  expmul  8954  binom21  9016  bernneq  9022