ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulid1 Structured version   GIF version

Theorem mulid1 6822
Description: 1 is an identity element for multiplication. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulid1 (A ℂ → (A · 1) = A)

Proof of Theorem mulid1
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6821 . 2 (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
2 recn 6812 . . . . . 6 (x ℝ → x ℂ)
3 ax-icn 6778 . . . . . . 7 i
4 recn 6812 . . . . . . 7 (y ℝ → y ℂ)
5 mulcl 6806 . . . . . . 7 ((i y ℂ) → (i · y) ℂ)
63, 4, 5sylancr 393 . . . . . 6 (y ℝ → (i · y) ℂ)
7 ax-1cn 6776 . . . . . . 7 1
8 adddir 6816 . . . . . . 7 ((x (i · y) 1 ℂ) → ((x + (i · y)) · 1) = ((x · 1) + ((i · y) · 1)))
97, 8mp3an3 1220 . . . . . 6 ((x (i · y) ℂ) → ((x + (i · y)) · 1) = ((x · 1) + ((i · y) · 1)))
102, 6, 9syl2an 273 . . . . 5 ((x y ℝ) → ((x + (i · y)) · 1) = ((x · 1) + ((i · y) · 1)))
11 ax-1rid 6790 . . . . . 6 (x ℝ → (x · 1) = x)
12 mulass 6810 . . . . . . . . 9 ((i y 1 ℂ) → ((i · y) · 1) = (i · (y · 1)))
133, 7, 12mp3an13 1222 . . . . . . . 8 (y ℂ → ((i · y) · 1) = (i · (y · 1)))
144, 13syl 14 . . . . . . 7 (y ℝ → ((i · y) · 1) = (i · (y · 1)))
15 ax-1rid 6790 . . . . . . . 8 (y ℝ → (y · 1) = y)
1615oveq2d 5471 . . . . . . 7 (y ℝ → (i · (y · 1)) = (i · y))
1714, 16eqtrd 2069 . . . . . 6 (y ℝ → ((i · y) · 1) = (i · y))
1811, 17oveqan12d 5474 . . . . 5 ((x y ℝ) → ((x · 1) + ((i · y) · 1)) = (x + (i · y)))
1910, 18eqtrd 2069 . . . 4 ((x y ℝ) → ((x + (i · y)) · 1) = (x + (i · y)))
20 oveq1 5462 . . . . 5 (A = (x + (i · y)) → (A · 1) = ((x + (i · y)) · 1))
21 id 19 . . . . 5 (A = (x + (i · y)) → A = (x + (i · y)))
2220, 21eqeq12d 2051 . . . 4 (A = (x + (i · y)) → ((A · 1) = A ↔ ((x + (i · y)) · 1) = (x + (i · y))))
2319, 22syl5ibrcom 146 . . 3 ((x y ℝ) → (A = (x + (i · y)) → (A · 1) = A))
2423rexlimivv 2432 . 2 (x y A = (x + (i · y)) → (A · 1) = A)
251, 24syl 14 1 (A ℂ → (A · 1) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  (class class class)co 5455  cc 6709  cr 6710  1c1 6712  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-mulcl 6781  ax-mulcom 6784  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-1rid 6790  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458
This theorem is referenced by:  mulid2  6823  mulid1i  6827  mulid1d  6842  muleqadd  7431  divdivap1  7481  conjmulap  7487  nnmulcl  7716  expmul  8954  binom21  9016  bernneq  9022
  Copyright terms: Public domain W3C validator