Theorem expmul 8954

Description: Product of exponents law for positive integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
expmul	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A↑𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmul

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 0))
2	1	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = (A↑(𝑀 · 0)))
3		oveq2 5463	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((A↑𝑀)↑𝑗) = ((A↑𝑀)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2051	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A↑𝑀)↑𝑗) ↔ (A↑(𝑀 · 0)) = ((A↑𝑀)↑0)))
5	4	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 0)) = ((A↑𝑀)↑0))))
6		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑘))
7	6	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = (A↑(𝑀 · 𝑘)))
8		oveq2 5463	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((A↑𝑀)↑𝑗) = ((A↑𝑀)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2051	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A↑𝑀)↑𝑗) ↔ (A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A↑𝑀)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A↑𝑀)↑𝑘))))
11		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 5463	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A↑𝑀)↑𝑗) = ((A↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2051	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A↑𝑀)↑𝑗) ↔ (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A↑𝑀)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑁))
17	16	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = (A↑(𝑀 · 𝑁)))
18		oveq2 5463	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((A↑𝑀)↑𝑗) = ((A↑𝑀)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2051	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A↑𝑀)↑𝑗) ↔ (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A↑𝑀)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A↑𝑀)↑𝑁))))
21		nn0cn 7967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	mul01d 7186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 · 0) = 0)
23	22	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (A↑(𝑀 · 0)) = (A↑0))
24		exp0 8913	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑0) = 1)
25	23, 24	sylan9eqr 2091	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 0)) = 1)
26		expcl 8927	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑𝑀) ∈ ℂ)
27		exp0 8913	. . . . . 6 ⊢ ((A↑𝑀) ∈ ℂ → ((A↑𝑀)↑0) = 1)
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((A↑𝑀)↑0) = 1)
29	25, 28	eqtr4d 2072	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 0)) = ((A↑𝑀)↑0))
30		oveq1 5462	. . . . . . 7 ⊢ ((A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A↑𝑀)↑𝑘) → ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A↑𝑀)) = (((A↑𝑀)↑𝑘) · (A↑𝑀)))
31		nn0cn 7967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 6776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		adddi 6811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
34	32, 33	mp3an3 1220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
35		mulid1 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
36	35	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
37	36	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
38	34, 37	eqtrd 2069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
39	21, 31, 38	syl2an 273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
40	39	adantll 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
41	40	oveq2d 5471	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = (A↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)))
42		simpll 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → A ∈ ℂ)
43		nn0mulcl 7994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
44	43	adantll 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45		simplr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
46		expadd 8951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A↑𝑀)))
47	42, 44, 45, 46	syl3anc 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (A↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A↑𝑀)))
48	41, 47	eqtrd 2069	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A↑𝑀)))
49		expp1 8916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((A↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((A↑𝑀)↑𝑘) · (A↑𝑀)))
50	26, 49	sylan 267	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((A↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((A↑𝑀)↑𝑘) · (A↑𝑀)))
51	48, 50	eqeq12d 2051	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A↑𝑀)) = (((A↑𝑀)↑𝑘) · (A↑𝑀))))
52	30, 51	syl5ibr 145	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A↑𝑀)↑𝑘) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A↑𝑀)↑(𝑘 + 1))))
53	52	expcom 109	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A↑𝑀)↑𝑘) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
54	53	a2d 23	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A↑𝑀)↑𝑘)) → ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
55	5, 10, 15, 20, 29, 54	nn0ind 8128	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A↑𝑀)↑𝑁)))
56	55	expdcom 1328	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A↑𝑀)↑𝑁))))
57	56	3imp 1097	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A↑𝑀)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716  ℕ₀cn0 7957  ↑cexp 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909

This theorem is referenced by:  expmulzap  8955  expnass  9010  expmuld  9037