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Theorem expmul 8934
Description: Product of exponents law for positive integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
expmul ((A 𝑀 0 𝑁 0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmul
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 0))
21oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = (A↑(𝑀 · 0)))
3 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((A𝑀)↑𝑗) = ((A𝑀)↑0))
42, 3eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A𝑀)↑𝑗) ↔ (A↑(𝑀 · 0)) = ((A𝑀)↑0)))
54imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A𝑀)↑𝑗)) ↔ ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 0)) = ((A𝑀)↑0))))
6 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑘))
76oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = (A↑(𝑀 · 𝑘)))
8 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((A𝑀)↑𝑗) = ((A𝑀)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A𝑀)↑𝑗) ↔ (A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A𝑀)↑𝑘)))
109imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A𝑀)↑𝑗)) ↔ ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A𝑀)↑𝑘))))
11 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A𝑀)↑𝑗) = ((A𝑀)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A𝑀)↑𝑗) ↔ (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A𝑀)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A𝑀)↑𝑗)) ↔ ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑁))
1716oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = (A↑(𝑀 · 𝑁)))
18 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((A𝑀)↑𝑗) = ((A𝑀)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A𝑀)↑𝑗) ↔ (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
2019imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 𝑗)) = ((A𝑀)↑𝑗)) ↔ ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))))
21 nn0cn 7947 . . . . . . . 8 (𝑀 0𝑀 ℂ)
2221mul01d 7166 . . . . . . 7 (𝑀 0 → (𝑀 · 0) = 0)
2322oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑀 0 → (A↑(𝑀 · 0)) = (A↑0))
24 exp0 8893 . . . . . 6 (A ℂ → (A↑0) = 1)
2523, 24sylan9eqr 2091 . . . . 5 ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 0)) = 1)
26 expcl 8907 . . . . . 6 ((A 𝑀 0) → (A𝑀) ℂ)
27 exp0 8893 . . . . . 6 ((A𝑀) ℂ → ((A𝑀)↑0) = 1)
2826, 27syl 14 . . . . 5 ((A 𝑀 0) → ((A𝑀)↑0) = 1)
2925, 28eqtr4d 2072 . . . 4 ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 0)) = ((A𝑀)↑0))
30 oveq1 5462 . . . . . . 7 ((A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A𝑀)↑𝑘) → ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A𝑀)) = (((A𝑀)↑𝑘) · (A𝑀)))
31 nn0cn 7947 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 0𝑘 ℂ)
32 ax-1cn 6756 . . . . . . . . . . . . . 14 1
33 adddi 6791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 𝑘 1 ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
3432, 33mp3an3 1220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 𝑘 ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
35 mulid1 6802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ℂ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3635adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 𝑘 ℂ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3736oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 𝑘 ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3834, 37eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 𝑘 ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3921, 31, 38syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 0 𝑘 0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4039adantll 445 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4140oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = (A↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)))
42 simpll 481 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → A ℂ)
43 nn0mulcl 7974 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 0 𝑘 0) → (𝑀 · 𝑘) 0)
4443adantll 445 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (𝑀 · 𝑘) 0)
45 simplr 482 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → 𝑀 0)
46 expadd 8931 . . . . . . . . . 10 ((A (𝑀 · 𝑘) 0 𝑀 0) → (A↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A𝑀)))
4742, 44, 45, 46syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (A↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A𝑀)))
4841, 47eqtrd 2069 . . . . . . . 8 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A𝑀)))
49 expp1 8896 . . . . . . . . 9 (((A𝑀) 𝑘 0) → ((A𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((A𝑀)↑𝑘) · (A𝑀)))
5026, 49sylan 267 . . . . . . . 8 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → ((A𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((A𝑀)↑𝑘) · (A𝑀)))
5148, 50eqeq12d 2051 . . . . . . 7 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → ((A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A𝑀)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((A↑(𝑀 · 𝑘)) · (A𝑀)) = (((A𝑀)↑𝑘) · (A𝑀))))
5230, 51syl5ibr 145 . . . . . 6 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → ((A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A𝑀)↑𝑘) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A𝑀)↑(𝑘 + 1))))
5352expcom 109 . . . . 5 (𝑘 0 → ((A 𝑀 0) → ((A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A𝑀)↑𝑘) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
5453a2d 23 . . . 4 (𝑘 0 → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 𝑘)) = ((A𝑀)↑𝑘)) → ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((A𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
555, 10, 15, 20, 29, 54nn0ind 8108 . . 3 (𝑁 0 → ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁)))
5655expdcom 1328 . 2 (A ℂ → (𝑀 0 → (𝑁 0 → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))))
57563imp 1097 1 ((A 𝑀 0 𝑁 0) → (A↑(𝑀 · 𝑁)) = ((A𝑀)↑𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6689  0cc0 6691  1c1 6692   + caddc 6694   · cmul 6696  0cn0 7937  cexp 8888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-iseq 8873  df-iexp 8889
This theorem is referenced by:  expmulzap  8935  expnass  8990  expmuld  9017
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