ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  conjmulap Structured version   GIF version

Theorem conjmulap 7439
Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
conjmulap (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1 ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))

Proof of Theorem conjmulap
StepHypRef Expression
1 simpll 481 . . . . . . 7 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → 𝑃 ℂ)
2 simprl 483 . . . . . . 7 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → 𝑄 ℂ)
3 recclap 7392 . . . . . . . 8 ((𝑃 𝑃 # 0) → (1 / 𝑃) ℂ)
43adantr 261 . . . . . . 7 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (1 / 𝑃) ℂ)
51, 2, 4mul32d 6915 . . . . . 6 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) = ((𝑃 · (1 / 𝑃)) · 𝑄))
6 recidap 7399 . . . . . . . 8 ((𝑃 𝑃 # 0) → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
76oveq1d 5467 . . . . . . 7 ((𝑃 𝑃 # 0) → ((𝑃 · (1 / 𝑃)) · 𝑄) = (1 · 𝑄))
87adantr 261 . . . . . 6 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((𝑃 · (1 / 𝑃)) · 𝑄) = (1 · 𝑄))
9 mulid2 6775 . . . . . . 7 (𝑄 ℂ → (1 · 𝑄) = 𝑄)
109ad2antrl 459 . . . . . 6 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (1 · 𝑄) = 𝑄)
115, 8, 103eqtrd 2073 . . . . 5 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) = 𝑄)
12 recclap 7392 . . . . . . . 8 ((𝑄 𝑄 # 0) → (1 / 𝑄) ℂ)
1312adantl 262 . . . . . . 7 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (1 / 𝑄) ℂ)
141, 2, 13mulassd 6800 . . . . . 6 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄)) = (𝑃 · (𝑄 · (1 / 𝑄))))
15 recidap 7399 . . . . . . . 8 ((𝑄 𝑄 # 0) → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
1615oveq2d 5468 . . . . . . 7 ((𝑄 𝑄 # 0) → (𝑃 · (𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝑃 · 1))
1716adantl 262 . . . . . 6 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (𝑃 · (𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝑃 · 1))
18 mulid1 6774 . . . . . . 7 (𝑃 ℂ → (𝑃 · 1) = 𝑃)
1918ad2antrr 457 . . . . . 6 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (𝑃 · 1) = 𝑃)
2014, 17, 193eqtrd 2073 . . . . 5 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄)) = 𝑃)
2111, 20oveq12d 5470 . . . 4 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) + ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄))) = (𝑄 + 𝑃))
22 mulcl 6758 . . . . . 6 ((𝑃 𝑄 ℂ) → (𝑃 · 𝑄) ℂ)
2322ad2ant2r 478 . . . . 5 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (𝑃 · 𝑄) ℂ)
2423, 4, 13adddid 6801 . . . 4 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = (((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) + ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄))))
25 addcom 6899 . . . . 5 ((𝑃 𝑄 ℂ) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
2625ad2ant2r 478 . . . 4 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
2721, 24, 263eqtr4d 2079 . . 3 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = (𝑃 + 𝑄))
2822mulid1d 6794 . . . 4 ((𝑃 𝑄 ℂ) → ((𝑃 · 𝑄) · 1) = (𝑃 · 𝑄))
2928ad2ant2r 478 . . 3 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · 1) = (𝑃 · 𝑄))
3027, 29eqeq12d 2051 . 2 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ (𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄)))
31 addcl 6756 . . . 4 (((1 / 𝑃) (1 / 𝑄) ℂ) → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ℂ)
323, 12, 31syl2an 273 . . 3 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ℂ)
33 mulap0 7369 . . 3 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (𝑃 · 𝑄) # 0)
34 ax-1cn 6728 . . . 4 1
35 mulcanap 7380 . . . 4 ((((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) 1 ((𝑃 · 𝑄) (𝑃 · 𝑄) # 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1))
3634, 35mp3an2 1219 . . 3 ((((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ((𝑃 · 𝑄) (𝑃 · 𝑄) # 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1))
3732, 23, 33, 36syl12anc 1132 . 2 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1))
38 eqcom 2039 . . . 4 ((𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄) ↔ (𝑃 · 𝑄) = (𝑃 + 𝑄))
39 muleqadd 7383 . . . 4 ((𝑃 𝑄 ℂ) → ((𝑃 · 𝑄) = (𝑃 + 𝑄) ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
4038, 39syl5bb 181 . . 3 ((𝑃 𝑄 ℂ) → ((𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄) ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
4140ad2ant2r 478 . 2 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → ((𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄) ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
4230, 37, 413bitr3d 207 1 (((𝑃 𝑃 # 0) (𝑄 𝑄 # 0)) → (((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1 ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  cc 6661  0cc0 6663  1c1 6664   + caddc 6666   · cmul 6668  cmin 6931   # cap 7317   / cdiv 7385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752  ax-pre-mulext 6753
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311  df-ap 7318  df-div 7386
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator