ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  muleqadd Structured version   GIF version

Theorem muleqadd 7391
Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 13-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
muleqadd ((A B ℂ) → ((A · B) = (A + B) ↔ ((A − 1) · (B − 1)) = 1))

Proof of Theorem muleqadd
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 6736 . . . . 5 1
2 mulsub 7154 . . . . . 6 (((A 1 ℂ) (B 1 ℂ)) → ((A − 1) · (B − 1)) = (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1))))
31, 2mpanr2 414 . . . . 5 (((A 1 ℂ) B ℂ) → ((A − 1) · (B − 1)) = (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1))))
41, 3mpanl2 411 . . . 4 ((A B ℂ) → ((A − 1) · (B − 1)) = (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1))))
51mulid1i 6787 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
65oveq2i 5466 . . . . . 6 ((A · B) + (1 · 1)) = ((A · B) + 1)
76a1i 9 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((A · B) + (1 · 1)) = ((A · B) + 1))
8 mulid1 6782 . . . . . 6 (A ℂ → (A · 1) = A)
9 mulid1 6782 . . . . . 6 (B ℂ → (B · 1) = B)
108, 9oveqan12d 5474 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((A · 1) + (B · 1)) = (A + B))
117, 10oveq12d 5473 . . . 4 ((A B ℂ) → (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1))) = (((A · B) + 1) − (A + B)))
12 mulcl 6766 . . . . 5 ((A B ℂ) → (A · B) ℂ)
13 addcl 6764 . . . . 5 ((A B ℂ) → (A + B) ℂ)
14 addsub 6979 . . . . . 6 (((A · B) 1 (A + B) ℂ) → (((A · B) + 1) − (A + B)) = (((A · B) − (A + B)) + 1))
151, 14mp3an2 1219 . . . . 5 (((A · B) (A + B) ℂ) → (((A · B) + 1) − (A + B)) = (((A · B) − (A + B)) + 1))
1612, 13, 15syl2anc 391 . . . 4 ((A B ℂ) → (((A · B) + 1) − (A + B)) = (((A · B) − (A + B)) + 1))
174, 11, 163eqtrd 2073 . . 3 ((A B ℂ) → ((A − 1) · (B − 1)) = (((A · B) − (A + B)) + 1))
1817eqeq1d 2045 . 2 ((A B ℂ) → (((A − 1) · (B − 1)) = 1 ↔ (((A · B) − (A + B)) + 1) = 1))
191addid2i 6913 . . . 4 (0 + 1) = 1
2019eqeq2i 2047 . . 3 ((((A · B) − (A + B)) + 1) = (0 + 1) ↔ (((A · B) − (A + B)) + 1) = 1)
2112, 13subcld 7078 . . . 4 ((A B ℂ) → ((A · B) − (A + B)) ℂ)
22 0cn 6777 . . . . 5 0
23 addcan2 6949 . . . . 5 ((((A · B) − (A + B)) 0 1 ℂ) → ((((A · B) − (A + B)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((A · B) − (A + B)) = 0))
2422, 1, 23mp3an23 1223 . . . 4 (((A · B) − (A + B)) ℂ → ((((A · B) − (A + B)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((A · B) − (A + B)) = 0))
2521, 24syl 14 . . 3 ((A B ℂ) → ((((A · B) − (A + B)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((A · B) − (A + B)) = 0))
2620, 25syl5rbbr 184 . 2 ((A B ℂ) → (((A · B) − (A + B)) = 0 ↔ (((A · B) − (A + B)) + 1) = 1))
2712, 13subeq0ad 7088 . 2 ((A B ℂ) → (((A · B) − (A + B)) = 0 ↔ (A · B) = (A + B)))
2818, 26, 273bitr2rd 206 1 ((A B ℂ) → ((A · B) = (A + B) ↔ ((A − 1) · (B − 1)) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-neg 6942
This theorem is referenced by:  conjmulap  7447
  Copyright terms: Public domain W3C validator