ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  adddir Structured version   GIF version

Theorem adddir 6816
Description: Distributive law for complex numbers (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
adddir ((A B 𝐶 ℂ) → ((A + B) · 𝐶) = ((A · 𝐶) + (B · 𝐶)))

Proof of Theorem adddir
StepHypRef Expression
1 adddi 6811 . . 3 ((𝐶 A B ℂ) → (𝐶 · (A + B)) = ((𝐶 · A) + (𝐶 · B)))
213coml 1110 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → (𝐶 · (A + B)) = ((𝐶 · A) + (𝐶 · B)))
3 addcl 6804 . . . 4 ((A B ℂ) → (A + B) ℂ)
4 mulcom 6808 . . . 4 (((A + B) 𝐶 ℂ) → ((A + B) · 𝐶) = (𝐶 · (A + B)))
53, 4sylan 267 . . 3 (((A B ℂ) 𝐶 ℂ) → ((A + B) · 𝐶) = (𝐶 · (A + B)))
653impa 1098 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A + B) · 𝐶) = (𝐶 · (A + B)))
7 mulcom 6808 . . . 4 ((A 𝐶 ℂ) → (A · 𝐶) = (𝐶 · A))
873adant2 922 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · 𝐶) = (𝐶 · A))
9 mulcom 6808 . . . 4 ((B 𝐶 ℂ) → (B · 𝐶) = (𝐶 · B))
1093adant1 921 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → (B · 𝐶) = (𝐶 · B))
118, 10oveq12d 5473 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A · 𝐶) + (B · 𝐶)) = ((𝐶 · A) + (𝐶 · B)))
122, 6, 113eqtr4d 2079 1 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A + B) · 𝐶) = ((A · 𝐶) + (B · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6709   + caddc 6714   · cmul 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-addcl 6779  ax-mulcom 6784  ax-distr 6787
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458
This theorem is referenced by:  mulid1  6822  adddiri  6836  adddird  6850  muladd11  6943  muladd  7177
  Copyright terms: Public domain W3C validator