ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qaddcl Structured version   GIF version

Theorem qaddcl 8326
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl ((A B ℚ) → (A + B) ℚ)

Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 8313 . 2 (A ℚ ↔ x y A = (x / y))
2 elq 8313 . 2 (B ℚ ↔ z w B = (z / w))
3 nnz 8020 . . . . . . . . . . . 12 (w ℕ → w ℤ)
4 zmulcl 8053 . . . . . . . . . . . 12 ((x w ℤ) → (x · w) ℤ)
53, 4sylan2 270 . . . . . . . . . . 11 ((x w ℕ) → (x · w) ℤ)
65ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . 10 (((x y ℕ) (z w ℕ)) → (x · w) ℤ)
7 simpl 102 . . . . . . . . . . 11 ((z w ℕ) → z ℤ)
8 nnz 8020 . . . . . . . . . . . 12 (y ℕ → y ℤ)
98adantl 262 . . . . . . . . . . 11 ((x y ℕ) → y ℤ)
10 zmulcl 8053 . . . . . . . . . . 11 ((z y ℤ) → (z · y) ℤ)
117, 9, 10syl2anr 274 . . . . . . . . . 10 (((x y ℕ) (z w ℕ)) → (z · y) ℤ)
126, 11zaddcld 8120 . . . . . . . . 9 (((x y ℕ) (z w ℕ)) → ((x · w) + (z · y)) ℤ)
1312adantr 261 . . . . . . . 8 ((((x y ℕ) (z w ℕ)) (A = (x / y) B = (z / w))) → ((x · w) + (z · y)) ℤ)
14 nnmulcl 7696 . . . . . . . . . 10 ((y w ℕ) → (y · w) ℕ)
1514ad2ant2l 477 . . . . . . . . 9 (((x y ℕ) (z w ℕ)) → (y · w) ℕ)
1615adantr 261 . . . . . . . 8 ((((x y ℕ) (z w ℕ)) (A = (x / y) B = (z / w))) → (y · w) ℕ)
17 oveq12 5464 . . . . . . . . 9 ((A = (x / y) B = (z / w)) → (A + B) = ((x / y) + (z / w)))
18 zcn 8006 . . . . . . . . . . . 12 (x ℤ → x ℂ)
19 zcn 8006 . . . . . . . . . . . 12 (z ℤ → z ℂ)
2018, 19anim12i 321 . . . . . . . . . . 11 ((x z ℤ) → (x z ℂ))
21 nncn 7683 . . . . . . . . . . . . 13 (y ℕ → y ℂ)
22 nnap0 7704 . . . . . . . . . . . . 13 (y ℕ → y # 0)
2321, 22jca 290 . . . . . . . . . . . 12 (y ℕ → (y y # 0))
24 nncn 7683 . . . . . . . . . . . . 13 (w ℕ → w ℂ)
25 nnap0 7704 . . . . . . . . . . . . 13 (w ℕ → w # 0)
2624, 25jca 290 . . . . . . . . . . . 12 (w ℕ → (w w # 0))
2723, 26anim12i 321 . . . . . . . . . . 11 ((y w ℕ) → ((y y # 0) (w w # 0)))
28 divadddivap 7465 . . . . . . . . . . 11 (((x z ℂ) ((y y # 0) (w w # 0))) → ((x / y) + (z / w)) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w)))
2920, 27, 28syl2an 273 . . . . . . . . . 10 (((x z ℤ) (y w ℕ)) → ((x / y) + (z / w)) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w)))
3029an4s 522 . . . . . . . . 9 (((x y ℕ) (z w ℕ)) → ((x / y) + (z / w)) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w)))
3117, 30sylan9eqr 2091 . . . . . . . 8 ((((x y ℕ) (z w ℕ)) (A = (x / y) B = (z / w))) → (A + B) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w)))
32 rspceov 5489 . . . . . . . . 9 ((((x · w) + (z · y)) (y · w) (A + B) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w))) → v u ℕ (A + B) = (v / u))
33 elq 8313 . . . . . . . . 9 ((A + B) ℚ ↔ v u ℕ (A + B) = (v / u))
3432, 33sylibr 137 . . . . . . . 8 ((((x · w) + (z · y)) (y · w) (A + B) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w))) → (A + B) ℚ)
3513, 16, 31, 34syl3anc 1134 . . . . . . 7 ((((x y ℕ) (z w ℕ)) (A = (x / y) B = (z / w))) → (A + B) ℚ)
3635an4s 522 . . . . . 6 ((((x y ℕ) A = (x / y)) ((z w ℕ) B = (z / w))) → (A + B) ℚ)
3736exp43 354 . . . . 5 ((x y ℕ) → (A = (x / y) → ((z w ℕ) → (B = (z / w) → (A + B) ℚ))))
3837rexlimivv 2432 . . . 4 (x y A = (x / y) → ((z w ℕ) → (B = (z / w) → (A + B) ℚ)))
3938rexlimdvv 2433 . . 3 (x y A = (x / y) → (z w B = (z / w) → (A + B) ℚ))
4039imp 115 . 2 ((x y A = (x / y) z w B = (z / w)) → (A + B) ℚ)
411, 2, 40syl2anb 275 1 ((A B ℚ) → (A + B) ℚ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6689  0cc0 6691   + caddc 6694   · cmul 6696   # cap 7345   / cdiv 7413  cn 7675  cz 8001  cq 8310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-q 8311
This theorem is referenced by:  qsubcl  8329  qrevaddcl  8333
  Copyright terms: Public domain W3C validator