Theorem qaddcl 8326

Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qaddcl	⊢ ((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) → (A + B) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qaddcl

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 8313	. 2 ⊢ (A ∈ ℚ ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y))
2		elq 8313	. 2 ⊢ (B ∈ ℚ ↔ ∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w))
3		nnz 8020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ ℕ → w ∈ ℤ)
4		zmulcl 8053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ w ∈ ℤ) → (x · w) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan2 270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) → (x · w) ∈ ℤ)
6	5	ad2ant2rl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (x · w) ∈ ℤ)
7		simpl 102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) → z ∈ ℤ)
8		nnz 8020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℤ)
9	8	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → y ∈ ℤ)
10		zmulcl 8053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → (z · y) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	syl2anr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (z · y) ∈ ℤ)
12	6, 11	zaddcld 8120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → ((x · w) + (z · y)) ∈ ℤ)
13	12	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ (A = (x / y) ∧ B = (z / w))) → ((x · w) + (z · y)) ∈ ℤ)
14		nnmulcl 7696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ w ∈ ℕ) → (y · w) ∈ ℕ)
15	14	ad2ant2l 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (y · w) ∈ ℕ)
16	15	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ (A = (x / y) ∧ B = (z / w))) → (y · w) ∈ ℕ)
17		oveq12 5464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A = (x / y) ∧ B = (z / w)) → (A + B) = ((x / y) + (z / w)))
18		zcn 8006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℂ)
19		zcn 8006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ ℤ → z ∈ ℂ)
20	18, 19	anim12i 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ z ∈ ℤ) → (x ∈ ℂ ∧ z ∈ ℂ))
21		nncn 7683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
22		nnap0 7704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → y # 0)
23	21, 22	jca 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → (y ∈ ℂ ∧ y # 0))
24		nncn 7683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ∈ ℕ → w ∈ ℂ)
25		nnap0 7704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ∈ ℕ → w # 0)
26	24, 25	jca 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ ℕ → (w ∈ ℂ ∧ w # 0))
27	23, 26	anim12i 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ w ∈ ℕ) → ((y ∈ ℂ ∧ y # 0) ∧ (w ∈ ℂ ∧ w # 0)))
28		divadddivap 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℂ ∧ z ∈ ℂ) ∧ ((y ∈ ℂ ∧ y # 0) ∧ (w ∈ ℂ ∧ w # 0))) → ((x / y) + (z / w)) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w)))
29	20, 27, 28	syl2an 273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ z ∈ ℤ) ∧ (y ∈ ℕ ∧ w ∈ ℕ)) → ((x / y) + (z / w)) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w)))
30	29	an4s 522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → ((x / y) + (z / w)) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w)))
31	17, 30	sylan9eqr 2091	. . . . . . . 8 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ (A = (x / y) ∧ B = (z / w))) → (A + B) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w)))
32		rspceov 5489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((x · w) + (z · y)) ∈ ℤ ∧ (y · w) ∈ ℕ ∧ (A + B) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w))) → ∃v ∈ ℤ ∃u ∈ ℕ (A + B) = (v / u))
33		elq 8313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A + B) ∈ ℚ ↔ ∃v ∈ ℤ ∃u ∈ ℕ (A + B) = (v / u))
34	32, 33	sylibr 137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((x · w) + (z · y)) ∈ ℤ ∧ (y · w) ∈ ℕ ∧ (A + B) = (((x · w) + (z · y)) / (y · w))) → (A + B) ∈ ℚ)
35	13, 16, 31, 34	syl3anc 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ (A = (x / y) ∧ B = (z / w))) → (A + B) ∈ ℚ)
36	35	an4s 522	. . . . . 6 ⊢ ((((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) ∧ A = (x / y)) ∧ ((z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) ∧ B = (z / w))) → (A + B) ∈ ℚ)
37	36	exp43 354	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → (A = (x / y) → ((z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) → (B = (z / w) → (A + B) ∈ ℚ))))
38	37	rexlimivv 2432	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y) → ((z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ) → (B = (z / w) → (A + B) ∈ ℚ)))
39	38	rexlimdvv 2433	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y) → (∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w) → (A + B) ∈ ℚ))
40	39	imp 115	. 2 ⊢ ((∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y) ∧ ∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w)) → (A + B) ∈ ℚ)
41	1, 2, 40	syl2anb 275	1 ⊢ ((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) → (A + B) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6689  0cc0 6691   + caddc 6694   · cmul 6696   # cap 7345   / cdiv 7413  ℕcn 7675  ℤcz 8001  ℚcq 8310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-q 8311

This theorem is referenced by:  qsubcl  8329  qrevaddcl  8333