ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmulcl Unicode version

Theorem nnmulcl 7716
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl  NN  NN  x.  NN

Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . . . 5  1  x.  x.  1
21eleq1d 2103 . . . 4  1  x.  NN  x.  1  NN
32imbi2d 219 . . 3  1  NN  x.  NN  NN  x.  1  NN
4 oveq2 5463 . . . . 5  x.  x.
54eleq1d 2103 . . . 4  x.  NN  x.  NN
65imbi2d 219 . . 3  NN  x.  NN  NN  x.  NN
7 oveq2 5463 . . . . 5  + 
1  x.  x.  +  1
87eleq1d 2103 . . . 4  + 
1  x.  NN  x.  + 
1  NN
98imbi2d 219 . . 3  + 
1  NN  x.  NN  NN  x.  +  1  NN
10 oveq2 5463 . . . . 5  x.  x.
1110eleq1d 2103 . . . 4  x.  NN  x.  NN
1211imbi2d 219 . . 3  NN  x.  NN  NN  x.  NN
13 nncn 7703 . . . 4  NN  CC
14 mulid1 6822 . . . . . 6  CC  x.  1
1514eleq1d 2103 . . . . 5  CC  x.  1  NN  NN
1615biimprd 147 . . . 4  CC  NN  x.  1  NN
1713, 16mpcom 32 . . 3  NN  x.  1  NN
18 nnaddcl 7715 . . . . . . . 8  x.  NN  NN  x.  +  NN
1918ancoms 255 . . . . . . 7  NN  x.  NN  x.  +  NN
20 nncn 7703 . . . . . . . . 9  NN  CC
21 ax-1cn 6776 . . . . . . . . . . 11  1  CC
22 adddi 6811 . . . . . . . . . . 11  CC  CC  1  CC  x.  + 
1  x.  +  x.  1
2321, 22mp3an3 1220 . . . . . . . . . 10  CC  CC  x.  +  1  x.  +  x.  1
2414oveq2d 5471 . . . . . . . . . . 11  CC  x.  +  x.  1  x.  +
2524adantr 261 . . . . . . . . . 10  CC  CC  x.  +  x.  1  x.  +
2623, 25eqtrd 2069 . . . . . . . . 9  CC  CC  x.  +  1  x.  +
2713, 20, 26syl2an 273 . . . . . . . 8  NN  NN  x.  +  1  x.  +
2827eleq1d 2103 . . . . . . 7  NN  NN  x.  +  1  NN  x.  +  NN
2919, 28syl5ibr 145 . . . . . 6  NN  NN  NN  x.  NN  x.  +  1  NN
3029exp4b 349 . . . . 5  NN  NN  NN  x.  NN  x.  +  1  NN
3130pm2.43b 46 . . . 4  NN  NN  x.  NN  x.  +  1  NN
3231a2d 23 . . 3  NN  NN  x.  NN  NN  x.  +  1  NN
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 7711 . 2  NN  NN  x.  NN
3433impcom 116 1  NN  NN  x.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455   CCcc 6709   1c1 6712    + caddc 6714    x. cmul 6716   NNcn 7695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-1rid 6790  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-inn 7696
This theorem is referenced by:  nnmulcli  7717  nndivtr  7736  nnmulcld  7742  nn0mulcl  7994  qaddcl  8346  qmulcl  8348  nnexpcl  8922  nnsqcl  8976
  Copyright terms: Public domain W3C validator