Theorem qaddcl 8346

Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qaddcl	|- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A + B) e. QQ)

Proof of Theorem qaddcl

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 8333	. 2 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
2		elq 8333	. 2 |- (B e. QQ <-> E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w))
3		nnz 8040	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. ZZ)
4		zmulcl 8073	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ w e. ZZ) -> (x x. w) e. ZZ)
5	3, 4	sylan2 270	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ w e. NN) -> (x x. w) e. ZZ)
6	5	ad2ant2rl 480	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (x x. w) e. ZZ)
7		simpl 102	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> z e. ZZ)
8		nnz 8040	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. ZZ)
9	8	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> y e. ZZ)
10		zmulcl 8073	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (z x. y) e. ZZ)
11	7, 9, 10	syl2anr 274	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (z x. y) e. ZZ)
12	6, 11	zaddcld 8140	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x x. w) + (z x. y)) e. ZZ)
13	12	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> ((x x. w) + (z x. y)) e. ZZ)
14		nnmulcl 7716	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y x. w) e. NN)
15	14	ad2ant2l 477	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y x. w) e. NN)
16	15	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (y x. w) e. NN)
17		oveq12 5464	. . . . . . . . 9 |- ((A = (x / y) /\ B = (z / w)) -> (A + B) = ((x / y) + (z / w)))
18		zcn 8026	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
19		zcn 8026	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. ZZ -> z e. CC)
20	18, 19	anim12i 321	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ z e. ZZ) -> (x e. CC /\ z e. CC))
21		nncn 7703	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> y e. CC)
22		nnap0 7724	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> y # 0)
23	21, 22	jca 290	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> (y e. CC /\ y # 0))
24		nncn 7703	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. NN -> w e. CC)
25		nnap0 7724	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. NN -> w # 0)
26	24, 25	jca 290	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> (w e. CC /\ w # 0))
27	23, 26	anim12i 321	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> ((y e. CC /\ y # 0) /\ (w e. CC /\ w # 0)))
28		divadddivap 7485	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CC /\ z e. CC) /\ ((y e. CC /\ y # 0) /\ (w e. CC /\ w # 0))) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (z x. y)) / (y x. w)))
29	20, 27, 28	syl2an 273	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ z e. ZZ) /\ (y e. NN /\ w e. NN)) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (z x. y)) / (y x. w)))
30	29	an4s 522	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (z x. y)) / (y x. w)))
31	17, 30	sylan9eqr 2091	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A + B) = (((x x. w) + (z x. y)) / (y x. w)))
32		rspceov 5489	. . . . . . . . 9 |- ((((x x. w) + (z x. y)) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A + B) = (((x x. w) + (z x. y)) / (y x. w))) -> E.v e. ZZ E.u e. NN (A + B) = (v / u))
33		elq 8333	. . . . . . . . 9 |- ((A + B) e. QQ <-> E.v e. ZZ E.u e. NN (A + B) = (v / u))
34	32, 33	sylibr 137	. . . . . . . 8 |- ((((x x. w) + (z x. y)) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A + B) = (((x x. w) + (z x. y)) / (y x. w))) -> (A + B) e. QQ)
35	13, 16, 31, 34	syl3anc 1134	. . . . . . 7 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A + B) e. QQ)
36	35	an4s 522	. . . . . 6 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ A = (x / y)) /\ ((z e. ZZ /\ w e. NN) /\ B = (z / w))) -> (A + B) e. QQ)
37	36	exp43 354	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A + B) e. QQ))))
38	37	rexlimivv 2432	. . . 4 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A + B) e. QQ)))
39	38	rexlimdvv 2433	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> (E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w) -> (A + B) e. QQ))
40	39	imp 115	. 2 |- ((E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) /\ E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w)) -> (A + B) e. QQ)
41	1, 2, 40	syl2anb 275	1 |- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A + B) e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390  E.wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   0cc0 6711   + caddc 6714   x. cmul 6716   # cap 7365   / cdiv 7433   NNcn 7695   ZZcz 8021   QQcq 8330

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-q 8331

This theorem is referenced by:  qsubcl  8349  qrevaddcl  8353