ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expaddzaplem Structured version   GIF version

Theorem expaddzaplem 8912
Description: Lemma for expaddzap 8913. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expaddzaplem (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑀) · (A𝑁)))

Proof of Theorem expaddzaplem
StepHypRef Expression
1 simp1l 927 . . . 4 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → A ℂ)
2 simp3 905 . . . 4 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑁 0)
3 expcl 8887 . . . 4 ((A 𝑁 0) → (A𝑁) ℂ)
41, 2, 3syl2anc 391 . . 3 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A𝑁) ℂ)
5 simp2r 930 . . . . 5 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -𝑀 ℕ)
65nnnn0d 7971 . . . 4 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -𝑀 0)
7 expcl 8887 . . . 4 ((A -𝑀 0) → (A↑-𝑀) ℂ)
81, 6, 7syl2anc 391 . . 3 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑-𝑀) ℂ)
9 simp1r 928 . . . 4 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → A # 0)
105nnzd 8095 . . . 4 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -𝑀 ℤ)
11 expap0i 8901 . . . 4 ((A A # 0 -𝑀 ℤ) → (A↑-𝑀) # 0)
121, 9, 10, 11syl3anc 1134 . . 3 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑-𝑀) # 0)
134, 8, 12divrecap2d 7511 . 2 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → ((A𝑁) / (A↑-𝑀)) = ((1 / (A↑-𝑀)) · (A𝑁)))
14 simp2l 929 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑀 ℝ)
1514recnd 6811 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑀 ℂ)
1615negnegd 7069 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → --𝑀 = 𝑀)
17 nnnegz 7984 . . . . . . . . . 10 (-𝑀 ℕ → --𝑀 ℤ)
185, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → --𝑀 ℤ)
1916, 18eqeltrrd 2112 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑀 ℤ)
202nn0zd 8094 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑁 ℤ)
2119, 20zaddcld 8100 . . . . . . 7 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (𝑀 + 𝑁) ℤ)
22 expclzap 8894 . . . . . . 7 ((A A # 0 (𝑀 + 𝑁) ℤ) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) ℂ)
231, 9, 21, 22syl3anc 1134 . . . . . 6 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) ℂ)
2423adantr 261 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) ℂ)
258adantr 261 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑-𝑀) ℂ)
2612adantr 261 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑-𝑀) # 0)
2724, 25, 26divcanap4d 7513 . . . 4 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → (((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)) / (A↑-𝑀)) = (A↑(𝑀 + 𝑁)))
281adantr 261 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → A ℂ)
29 simpr 103 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → (𝑀 + 𝑁) 0)
306adantr 261 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → -𝑀 0)
31 expadd 8911 . . . . . . 7 ((A (𝑀 + 𝑁) 0 -𝑀 0) → (A↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1134 . . . . . 6 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)))
3321zcnd 8097 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (𝑀 + 𝑁) ℂ)
3433, 15negsubd 7084 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
352nn0cnd 7973 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → 𝑁 ℂ)
3615, 35pncan2d 7080 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
3734, 36eqtrd 2069 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
3837adantr 261 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
3938oveq2d 5471 . . . . . 6 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = (A𝑁))
4032, 39eqtr3d 2071 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → ((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)) = (A𝑁))
4140oveq1d 5470 . . . 4 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → (((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)) / (A↑-𝑀)) = ((A𝑁) / (A↑-𝑀)))
4227, 41eqtr3d 2071 . . 3 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) (𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑁) / (A↑-𝑀)))
431adantr 261 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → A ℂ)
449adantr 261 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → A # 0)
4533adantr 261 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (𝑀 + 𝑁) ℂ)
46 simpr 103 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → -(𝑀 + 𝑁) 0)
47 expineg2 8878 . . . . 5 (((A A # 0) ((𝑀 + 𝑁) -(𝑀 + 𝑁) 0)) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (A↑-(𝑀 + 𝑁))))
4843, 44, 45, 46, 47syl22anc 1135 . . . 4 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (A↑-(𝑀 + 𝑁))))
4921znegcld 8098 . . . . . . . . . 10 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -(𝑀 + 𝑁) ℤ)
50 expclzap 8894 . . . . . . . . . 10 ((A A # 0 -(𝑀 + 𝑁) ℤ) → (A↑-(𝑀 + 𝑁)) ℂ)
511, 9, 49, 50syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑-(𝑀 + 𝑁)) ℂ)
5251adantr 261 . . . . . . . 8 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑-(𝑀 + 𝑁)) ℂ)
534adantr 261 . . . . . . . 8 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (A𝑁) ℂ)
54 expap0i 8901 . . . . . . . . . 10 ((A A # 0 𝑁 ℤ) → (A𝑁) # 0)
551, 9, 20, 54syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A𝑁) # 0)
5655adantr 261 . . . . . . . 8 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (A𝑁) # 0)
5752, 53, 56divcanap4d 7513 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A𝑁)) / (A𝑁)) = (A↑-(𝑀 + 𝑁)))
582adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → 𝑁 0)
59 expadd 8911 . . . . . . . . . 10 ((A -(𝑀 + 𝑁) 0 𝑁 0) → (A↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A𝑁)))
6043, 46, 58, 59syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A𝑁)))
6115, 35negdi2d 7092 . . . . . . . . . . . . 13 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀𝑁))
6261oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . 12 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝑀𝑁) + 𝑁))
6315negcld 7065 . . . . . . . . . . . . 13 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → -𝑀 ℂ)
6463, 35npcand 7082 . . . . . . . . . . . 12 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → ((-𝑀𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
6562, 64eqtrd 2069 . . . . . . . . . . 11 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
6665adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
6766oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = (A↑-𝑀))
6860, 67eqtr3d 2071 . . . . . . . 8 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → ((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A𝑁)) = (A↑-𝑀))
6968oveq1d 5470 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A𝑁)) / (A𝑁)) = ((A↑-𝑀) / (A𝑁)))
7057, 69eqtr3d 2071 . . . . . 6 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((A↑-𝑀) / (A𝑁)))
7170oveq2d 5471 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (1 / (A↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((A↑-𝑀) / (A𝑁))))
728, 4, 12, 55recdivapd 7524 . . . . . 6 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (1 / ((A↑-𝑀) / (A𝑁))) = ((A𝑁) / (A↑-𝑀)))
7372adantr 261 . . . . 5 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (1 / ((A↑-𝑀) / (A𝑁))) = ((A𝑁) / (A↑-𝑀)))
7471, 73eqtrd 2069 . . . 4 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (1 / (A↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((A𝑁) / (A↑-𝑀)))
7548, 74eqtrd 2069 . . 3 ((((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) -(𝑀 + 𝑁) 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑁) / (A↑-𝑀)))
76 elznn0 7996 . . . . 5 ((𝑀 + 𝑁) ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ((𝑀 + 𝑁) 0 -(𝑀 + 𝑁) 0)))
7776simprbi 260 . . . 4 ((𝑀 + 𝑁) ℤ → ((𝑀 + 𝑁) 0 -(𝑀 + 𝑁) 0))
7821, 77syl 14 . . 3 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → ((𝑀 + 𝑁) 0 -(𝑀 + 𝑁) 0))
7942, 75, 78mpjaodan 710 . 2 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑁) / (A↑-𝑀)))
80 expineg2 8878 . . . 4 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 0)) → (A𝑀) = (1 / (A↑-𝑀)))
811, 9, 15, 6, 80syl22anc 1135 . . 3 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A𝑀) = (1 / (A↑-𝑀)))
8281oveq1d 5470 . 2 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → ((A𝑀) · (A𝑁)) = ((1 / (A↑-𝑀)) · (A𝑁)))
8313, 79, 823eqtr4d 2079 1 (((A A # 0) (𝑀 -𝑀 ℕ) 𝑁 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑀) · (A𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939  -cneg 6940   # cap 7325   / cdiv 7393  cn 7655  0cn0 7917  cz 7981  cexp 8868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-iseq 8853  df-iexp 8869
This theorem is referenced by:  expaddzap  8913
  Copyright terms: Public domain W3C validator