ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elznn0 Structured version   GIF version

Theorem elznn0 8036
Description: Integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elznn0 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0)))

Proof of Theorem elznn0
StepHypRef Expression
1 elz 8023 . 2 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ)))
2 elnn0 7959 . . . . . 6 (𝑁 0 ↔ (𝑁 𝑁 = 0))
32a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ℝ → (𝑁 0 ↔ (𝑁 𝑁 = 0)))
4 elnn0 7959 . . . . . 6 (-𝑁 0 ↔ (-𝑁 -𝑁 = 0))
5 recn 6812 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℝ → 𝑁 ℂ)
6 0cn 6817 . . . . . . . . 9 0
7 negcon1 7059 . . . . . . . . 9 ((𝑁 0 ℂ) → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
85, 6, 7sylancl 392 . . . . . . . 8 (𝑁 ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
9 neg0 7053 . . . . . . . . . 10 -0 = 0
109eqeq1i 2044 . . . . . . . . 9 (-0 = 𝑁 ↔ 0 = 𝑁)
11 eqcom 2039 . . . . . . . . 9 (0 = 𝑁𝑁 = 0)
1210, 11bitri 173 . . . . . . . 8 (-0 = 𝑁𝑁 = 0)
138, 12syl6bb 185 . . . . . . 7 (𝑁 ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
1413orbi2d 703 . . . . . 6 (𝑁 ℝ → ((-𝑁 -𝑁 = 0) ↔ (-𝑁 𝑁 = 0)))
154, 14syl5bb 181 . . . . 5 (𝑁 ℝ → (-𝑁 0 ↔ (-𝑁 𝑁 = 0)))
163, 15orbi12d 706 . . . 4 (𝑁 ℝ → ((𝑁 0 -𝑁 0) ↔ ((𝑁 𝑁 = 0) (-𝑁 𝑁 = 0))))
17 3orass 887 . . . . 5 ((𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ) ↔ (𝑁 = 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))
18 orcom 646 . . . . 5 ((𝑁 = 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) ↔ ((𝑁 -𝑁 ℕ) 𝑁 = 0))
19 orordir 690 . . . . 5 (((𝑁 -𝑁 ℕ) 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 𝑁 = 0) (-𝑁 𝑁 = 0)))
2017, 18, 193bitrri 196 . . . 4 (((𝑁 𝑁 = 0) (-𝑁 𝑁 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ))
2116, 20syl6rbb 186 . . 3 (𝑁 ℝ → ((𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ) ↔ (𝑁 0 -𝑁 0)))
2221pm5.32i 427 . 2 ((𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ)) ↔ (𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0)))
231, 22bitri 173 1 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   wo 628   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390  cc 6709  cr 6710  0cc0 6711  -cneg 6980  cn 7695  0cn0 7957  cz 8021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-neg 6982  df-n0 7958  df-z 8022
This theorem is referenced by:  peano2z  8057  zmulcl  8073  elz2  8088  expnegzap  8943  expaddzaplem  8952
  Copyright terms: Public domain W3C validator