ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elznn0nn Structured version   GIF version

Theorem elznn0nn 8035
Description: Integer property expressed in terms nonnegative integers and positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elznn0nn (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))

Proof of Theorem elznn0nn
StepHypRef Expression
1 elz 8023 . 2 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ)))
2 andi 730 . . 3 ((𝑁 ((𝑁 = 0 𝑁 ℕ) -𝑁 ℕ)) ↔ ((𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 ℕ)) (𝑁 -𝑁 ℕ)))
3 df-3or 885 . . . 4 ((𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ) ↔ ((𝑁 = 0 𝑁 ℕ) -𝑁 ℕ))
43anbi2i 430 . . 3 ((𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ)) ↔ (𝑁 ((𝑁 = 0 𝑁 ℕ) -𝑁 ℕ)))
5 nn0re 7966 . . . . . 6 (𝑁 0𝑁 ℝ)
65pm4.71ri 372 . . . . 5 (𝑁 0 ↔ (𝑁 𝑁 0))
7 elnn0 7959 . . . . . . 7 (𝑁 0 ↔ (𝑁 𝑁 = 0))
8 orcom 646 . . . . . . 7 ((𝑁 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 𝑁 ℕ))
97, 8bitri 173 . . . . . 6 (𝑁 0 ↔ (𝑁 = 0 𝑁 ℕ))
109anbi2i 430 . . . . 5 ((𝑁 𝑁 0) ↔ (𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 ℕ)))
116, 10bitri 173 . . . 4 (𝑁 0 ↔ (𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 ℕ)))
1211orbi1i 679 . . 3 ((𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)) ↔ ((𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 ℕ)) (𝑁 -𝑁 ℕ)))
132, 4, 123bitr4i 201 . 2 ((𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ)) ↔ (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))
141, 13bitri 173 1 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   wo 628   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390  cr 6710  0cc0 6711  -cneg 6980  cn 7695  0cn0 7957  cz 8021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-i2m1 6788  ax-rnegex 6792
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022
This theorem is referenced by:  peano2z  8057  zindd  8132  expcl2lemap  8921  mulexpzap  8949  expaddzap  8953  expmulzap  8955
  Copyright terms: Public domain W3C validator