Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elz2 GIF version

Theorem elz2 8312
 Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑁

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 8260 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2 nn0p1nn 8221 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
32adantl 262 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4 1nn 7925 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
54a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
6 recn 7014 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 ax-1cn 6977 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
9 pncan 7217 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
107, 8, 9sylancl 392 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1110eqcomd 2045 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12 rspceov 5547 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
133, 5, 11, 12syl3anc 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
144a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
156adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
16 negsub 7259 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
178, 15, 16sylancr 393 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
19 nnnn0addcl 8212 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
204, 18, 19sylancr 393 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
2117, 20eqeltrrd 2115 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − 𝑁) ∈ ℕ)
22 nncan 7240 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
238, 15, 22sylancr 393 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
2423eqcomd 2045 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25 rspceov 5547 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ (1 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
2614, 21, 24, 25syl3anc 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
2713, 26jaodan 710 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
28 nnre 7921 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
29 nnre 7921 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
30 resubcl 7275 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3128, 29, 30syl2an 273 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
32 nnz 8264 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
33 nnz 8264 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
34 zletric 8289 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
3532, 33, 34syl2anr 274 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
36 nnnn0 8188 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
37 nnnn0 8188 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
38 nn0sub 8310 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
3936, 37, 38syl2anr 274 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
40 nn0sub 8310 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
4137, 36, 40syl2an 273 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
42 nncn 7922 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
43 nncn 7922 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
44 negsubdi2 7270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝑥𝑦) = (𝑦𝑥))
4542, 43, 44syl2an 273 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥𝑦) = (𝑦𝑥))
4645eleq1d 2106 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-(𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
4741, 46bitr4d 180 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
4839, 47orbi12d 707 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑥𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
4935, 48mpbid 135 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
5031, 49jca 290 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
51 eleq1 2100 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℝ))
52 eleq1 2100 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
53 negeq 7204 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑥𝑦) → -𝑁 = -(𝑥𝑦))
5453eleq1d 2106 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
5552, 54orbi12d 707 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑥𝑦) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
5651, 55anbi12d 442 . . . . 5 (𝑁 = (𝑥𝑦) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))))
5750, 56syl5ibrcom 146 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))))
5857rexlimivv 2438 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
5927, 58impbii 117 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
601, 59bitri 173 1 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  1c1 6890   + caddc 6892   ≤ cle 7061   − cmin 7182  -cneg 7183  ℕcn 7914  ℕ0cn0 8181  ℤcz 8245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246 This theorem is referenced by:  dfz2  8313
 Copyright terms: Public domain W3C validator