Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elz2 Structured version   GIF version

Theorem elz2 8088
 Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2 (𝑁 ℤ ↔ x y 𝑁 = (xy))
Distinct variable group:   x,y,𝑁

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 8036 . 2 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0)))
2 nn0p1nn 7997 . . . . . 6 (𝑁 0 → (𝑁 + 1) ℕ)
32adantl 262 . . . . 5 ((𝑁 𝑁 0) → (𝑁 + 1) ℕ)
4 1nn 7706 . . . . . 6 1
54a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 𝑁 0) → 1 ℕ)
6 recn 6812 . . . . . . . 8 (𝑁 ℝ → 𝑁 ℂ)
76adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑁 𝑁 0) → 𝑁 ℂ)
8 ax-1cn 6776 . . . . . . 7 1
9 pncan 7014 . . . . . . 7 ((𝑁 1 ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
107, 8, 9sylancl 392 . . . . . 6 ((𝑁 𝑁 0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1110eqcomd 2042 . . . . 5 ((𝑁 𝑁 0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12 rspceov 5489 . . . . 5 (((𝑁 + 1) 1 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → x y 𝑁 = (xy))
133, 5, 11, 12syl3anc 1134 . . . 4 ((𝑁 𝑁 0) → x y 𝑁 = (xy))
144a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 -𝑁 0) → 1 ℕ)
156adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑁 -𝑁 0) → 𝑁 ℂ)
16 negsub 7055 . . . . . . 7 ((1 𝑁 ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
178, 15, 16sylancr 393 . . . . . 6 ((𝑁 -𝑁 0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝑁 -𝑁 0) → -𝑁 0)
19 nnnn0addcl 7988 . . . . . . 7 ((1 -𝑁 0) → (1 + -𝑁) ℕ)
204, 18, 19sylancr 393 . . . . . 6 ((𝑁 -𝑁 0) → (1 + -𝑁) ℕ)
2117, 20eqeltrrd 2112 . . . . 5 ((𝑁 -𝑁 0) → (1 − 𝑁) ℕ)
22 nncan 7036 . . . . . . 7 ((1 𝑁 ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
238, 15, 22sylancr 393 . . . . . 6 ((𝑁 -𝑁 0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
2423eqcomd 2042 . . . . 5 ((𝑁 -𝑁 0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25 rspceov 5489 . . . . 5 ((1 (1 − 𝑁) 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → x y 𝑁 = (xy))
2614, 21, 24, 25syl3anc 1134 . . . 4 ((𝑁 -𝑁 0) → x y 𝑁 = (xy))
2713, 26jaodan 709 . . 3 ((𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0)) → x y 𝑁 = (xy))
28 nnre 7702 . . . . . . 7 (x ℕ → x ℝ)
29 nnre 7702 . . . . . . 7 (y ℕ → y ℝ)
30 resubcl 7071 . . . . . . 7 ((x y ℝ) → (xy) ℝ)
3128, 29, 30syl2an 273 . . . . . 6 ((x y ℕ) → (xy) ℝ)
32 nnz 8040 . . . . . . . 8 (y ℕ → y ℤ)
33 nnz 8040 . . . . . . . 8 (x ℕ → x ℤ)
34 zletric 8065 . . . . . . . 8 ((y x ℤ) → (yx xy))
3532, 33, 34syl2anr 274 . . . . . . 7 ((x y ℕ) → (yx xy))
36 nnnn0 7964 . . . . . . . . 9 (y ℕ → y 0)
37 nnnn0 7964 . . . . . . . . 9 (x ℕ → x 0)
38 nn0sub 8086 . . . . . . . . 9 ((y 0 x 0) → (yx ↔ (xy) 0))
3936, 37, 38syl2anr 274 . . . . . . . 8 ((x y ℕ) → (yx ↔ (xy) 0))
40 nn0sub 8086 . . . . . . . . . 10 ((x 0 y 0) → (xy ↔ (yx) 0))
4137, 36, 40syl2an 273 . . . . . . . . 9 ((x y ℕ) → (xy ↔ (yx) 0))
42 nncn 7703 . . . . . . . . . . 11 (x ℕ → x ℂ)
43 nncn 7703 . . . . . . . . . . 11 (y ℕ → y ℂ)
44 negsubdi2 7066 . . . . . . . . . . 11 ((x y ℂ) → -(xy) = (yx))
4542, 43, 44syl2an 273 . . . . . . . . . 10 ((x y ℕ) → -(xy) = (yx))
4645eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 ((x y ℕ) → (-(xy) 0 ↔ (yx) 0))
4741, 46bitr4d 180 . . . . . . . 8 ((x y ℕ) → (xy ↔ -(xy) 0))
4839, 47orbi12d 706 . . . . . . 7 ((x y ℕ) → ((yx xy) ↔ ((xy) 0 -(xy) 0)))
4935, 48mpbid 135 . . . . . 6 ((x y ℕ) → ((xy) 0 -(xy) 0))
5031, 49jca 290 . . . . 5 ((x y ℕ) → ((xy) ((xy) 0 -(xy) 0)))
51 eleq1 2097 . . . . . 6 (𝑁 = (xy) → (𝑁 ℝ ↔ (xy) ℝ))
52 eleq1 2097 . . . . . . 7 (𝑁 = (xy) → (𝑁 0 ↔ (xy) 0))
53 negeq 7001 . . . . . . . 8 (𝑁 = (xy) → -𝑁 = -(xy))
5453eleq1d 2103 . . . . . . 7 (𝑁 = (xy) → (-𝑁 0 ↔ -(xy) 0))
5552, 54orbi12d 706 . . . . . 6 (𝑁 = (xy) → ((𝑁 0 -𝑁 0) ↔ ((xy) 0 -(xy) 0)))
5651, 55anbi12d 442 . . . . 5 (𝑁 = (xy) → ((𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0)) ↔ ((xy) ((xy) 0 -(xy) 0))))
5750, 56syl5ibrcom 146 . . . 4 ((x y ℕ) → (𝑁 = (xy) → (𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0))))
5857rexlimivv 2432 . . 3 (x y 𝑁 = (xy) → (𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0)))
5927, 58impbii 117 . 2 ((𝑁 (𝑁 0 -𝑁 0)) ↔ x y 𝑁 = (xy))
601, 59bitri 173 1 (𝑁 ℤ ↔ x y 𝑁 = (xy))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  1c1 6712   + caddc 6714   ≤ cle 6858   − cmin 6979  -cneg 6980  ℕcn 7695  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022 This theorem is referenced by:  dfz2  8089
 Copyright terms: Public domain W3C validator