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 Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
expadd ((A 𝑀 0 𝑁 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑀) · (A𝑁)))

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 0))
21oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (A↑(𝑀 + 𝑗)) = (A↑(𝑀 + 0)))
3 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (A𝑗) = (A↑0))
43oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((A𝑀) · (A𝑗)) = ((A𝑀) · (A↑0)))
52, 4eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((A↑(𝑀 + 𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑗)) ↔ (A↑(𝑀 + 0)) = ((A𝑀) · (A↑0))))
65imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑗))) ↔ ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 0)) = ((A𝑀) · (A↑0)))))
7 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑘))
87oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (A↑(𝑀 + 𝑗)) = (A↑(𝑀 + 𝑘)))
9 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (A𝑗) = (A𝑘))
109oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((A𝑀) · (A𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑘)))
118, 10eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((A↑(𝑀 + 𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑗)) ↔ (A↑(𝑀 + 𝑘)) = ((A𝑀) · (A𝑘))))
1211imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑗))) ↔ ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 𝑘)) = ((A𝑀) · (A𝑘)))))
13 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
1413oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A↑(𝑀 + 𝑗)) = (A↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
15 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A𝑗) = (A↑(𝑘 + 1)))
1615oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A𝑀) · (A𝑗)) = ((A𝑀) · (A↑(𝑘 + 1))))
1714, 16eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A↑(𝑀 + 𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑗)) ↔ (A↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((A𝑀) · (A↑(𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑗))) ↔ ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((A𝑀) · (A↑(𝑘 + 1))))))
19 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑁))
2019oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (A↑(𝑀 + 𝑗)) = (A↑(𝑀 + 𝑁)))
21 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (A𝑗) = (A𝑁))
2221oveq2d 5471 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((A𝑀) · (A𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑁)))
2320, 22eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((A↑(𝑀 + 𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑗)) ↔ (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑀) · (A𝑁))))
2423imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 𝑗)) = ((A𝑀) · (A𝑗))) ↔ ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑀) · (A𝑁)))))
25 nn0cn 7967 . . . . . . . . 9 (𝑀 0𝑀 ℂ)
2625addid1d 6959 . . . . . . . 8 (𝑀 0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2726adantl 262 . . . . . . 7 ((A 𝑀 0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2827oveq2d 5471 . . . . . 6 ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 0)) = (A𝑀))
29 expcl 8927 . . . . . . 7 ((A 𝑀 0) → (A𝑀) ℂ)
3029mulid1d 6842 . . . . . 6 ((A 𝑀 0) → ((A𝑀) · 1) = (A𝑀))
3128, 30eqtr4d 2072 . . . . 5 ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 0)) = ((A𝑀) · 1))
32 exp0 8913 . . . . . . 7 (A ℂ → (A↑0) = 1)
3332adantr 261 . . . . . 6 ((A 𝑀 0) → (A↑0) = 1)
3433oveq2d 5471 . . . . 5 ((A 𝑀 0) → ((A𝑀) · (A↑0)) = ((A𝑀) · 1))
3531, 34eqtr4d 2072 . . . 4 ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 0)) = ((A𝑀) · (A↑0)))
36 oveq1 5462 . . . . . . 7 ((A↑(𝑀 + 𝑘)) = ((A𝑀) · (A𝑘)) → ((A↑(𝑀 + 𝑘)) · A) = (((A𝑀) · (A𝑘)) · A))
37 nn0cn 7967 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 0𝑘 ℂ)
38 ax-1cn 6776 . . . . . . . . . . . . 13 1
39 addass 6809 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 𝑘 1 ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4038, 39mp3an3 1220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 𝑘 ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4125, 37, 40syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 0 𝑘 0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4241adantll 445 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4342oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (A↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (A↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
44 simpll 481 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → A ℂ)
45 nn0addcl 7993 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 0 𝑘 0) → (𝑀 + 𝑘) 0)
4645adantll 445 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (𝑀 + 𝑘) 0)
47 expp1 8916 . . . . . . . . . 10 ((A (𝑀 + 𝑘) 0) → (A↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((A↑(𝑀 + 𝑘)) · A))
4844, 46, 47syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (A↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((A↑(𝑀 + 𝑘)) · A))
4943, 48eqtr3d 2071 . . . . . . . 8 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (A↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((A↑(𝑀 + 𝑘)) · A))
50 expp1 8916 . . . . . . . . . . 11 ((A 𝑘 0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
5150adantlr 446 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
5251oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → ((A𝑀) · (A↑(𝑘 + 1))) = ((A𝑀) · ((A𝑘) · A)))
5329adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (A𝑀) ℂ)
54 expcl 8927 . . . . . . . . . . 11 ((A 𝑘 0) → (A𝑘) ℂ)
5554adantlr 446 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (A𝑘) ℂ)
5653, 55, 44mulassd 6848 . . . . . . . . 9 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → (((A𝑀) · (A𝑘)) · A) = ((A𝑀) · ((A𝑘) · A)))
5752, 56eqtr4d 2072 . . . . . . . 8 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → ((A𝑀) · (A↑(𝑘 + 1))) = (((A𝑀) · (A𝑘)) · A))
5849, 57eqeq12d 2051 . . . . . . 7 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → ((A↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((A𝑀) · (A↑(𝑘 + 1))) ↔ ((A↑(𝑀 + 𝑘)) · A) = (((A𝑀) · (A𝑘)) · A)))
5936, 58syl5ibr 145 . . . . . 6 (((A 𝑀 0) 𝑘 0) → ((A↑(𝑀 + 𝑘)) = ((A𝑀) · (A𝑘)) → (A↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((A𝑀) · (A↑(𝑘 + 1)))))
6059expcom 109 . . . . 5 (𝑘 0 → ((A 𝑀 0) → ((A↑(𝑀 + 𝑘)) = ((A𝑀) · (A𝑘)) → (A↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((A𝑀) · (A↑(𝑘 + 1))))))
6160a2d 23 . . . 4 (𝑘 0 → (((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 𝑘)) = ((A𝑀) · (A𝑘))) → ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((A𝑀) · (A↑(𝑘 + 1))))))
626, 12, 18, 24, 35, 61nn0ind 8128 . . 3 (𝑁 0 → ((A 𝑀 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑀) · (A𝑁))))
6362expdcom 1328 . 2 (A ℂ → (𝑀 0 → (𝑁 0 → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑀) · (A𝑁)))))
64633imp 1097 1 ((A 𝑀 0 𝑁 0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A𝑀) · (A𝑁)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716  ℕ0cn0 7957  ↑cexp 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909 This theorem is referenced by:  expaddzaplem  8952  expaddzap  8953  expmul  8954  i4  9008  expaddd  9036
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