ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnegz Structured version   GIF version

Theorem nnnegz 8004
Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nnnegz (𝑁 ℕ → -𝑁 ℤ)

Proof of Theorem nnnegz
StepHypRef Expression
1 nnre 7682 . . 3 (𝑁 ℕ → 𝑁 ℝ)
21renegcld 7154 . 2 (𝑁 ℕ → -𝑁 ℝ)
3 nncn 7683 . . . 4 (𝑁 ℕ → 𝑁 ℂ)
4 negneg 7037 . . . . . 6 (𝑁 ℂ → --𝑁 = 𝑁)
54eleq1d 2103 . . . . 5 (𝑁 ℂ → (--𝑁 ℕ ↔ 𝑁 ℕ))
65biimprd 147 . . . 4 (𝑁 ℂ → (𝑁 ℕ → --𝑁 ℕ))
73, 6mpcom 32 . . 3 (𝑁 ℕ → --𝑁 ℕ)
873mix3d 1080 . 2 (𝑁 ℕ → (-𝑁 = 0 -𝑁 --𝑁 ℕ))
9 elz 8003 . 2 (-𝑁 ℤ ↔ (-𝑁 (-𝑁 = 0 -𝑁 --𝑁 ℕ)))
102, 8, 9sylanbrc 394 1 (𝑁 ℕ → -𝑁 ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390  cc 6689  cr 6690  0cc0 6691  -cneg 6960  cn 7675  cz 8001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-z 8002
This theorem is referenced by:  znegcl  8032  neg1z  8033  zeo  8099  btwnz  8113  expaddzaplem  8932
  Copyright terms: Public domain W3C validator