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Theorem climcvg1nlem 9842
Description: Lemma for climcvg1n 9843. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of 𝐹, show those converge, and use that to show that 𝐹 converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
climcvg1nlem.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
climcvg1nlem.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
climcvg1nlem.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥)))
Assertion
Ref Expression
climcvg1nlem (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛,𝑥   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climcvg1nlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 8506 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 8270 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 climcvg1n.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
43ffvelrnda 5302 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
54recld 9512 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6 climcvg1nlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
75, 6fmptd 5322 . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
8 climcvg1n.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
9 climcvg1n.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
10 eluznn 8536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1110adantll 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
123ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
1312, 11ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413recld 9512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
1615fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
1716, 6fvmptg 5248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
1811, 14, 17syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
19 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2012, 19ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2120recld 9512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
22 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
2322fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2423, 6fvmptg 5248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑛) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2519, 21, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2618, 25oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑛))))
2713, 20resubd 9535 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑛))))
2826, 27eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) = (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
2928fveq2d 5182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) = (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))))
3013, 20subcld 7320 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ)
31 absrele 9653 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3329, 32eqbrtrd 3784 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3430recld 9512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
3534recnd 7052 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℂ)
3628, 35eqeltrd 2114 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
3736abscld 9751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ∈ ℝ)
3830abscld 9751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
398ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4019nnrpd 8619 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4139, 40rpdivcld 8638 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4241rpred 8620 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
43 lelttr 7104 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4437, 38, 42, 43syl3anc 1135 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4533, 44mpand 405 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4645ralimdva 2387 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4746ralimdva 2387 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
489, 47mpd 13 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
497, 8, 48climrecvg1n 9841 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ )
50 climdm 9790 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
5149, 50sylib 127 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
52 nnex 7918 . . . 4 ℕ ∈ V
53 fex 5388 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
543, 52, 53sylancl 392 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
554imcld 9513 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
56 climcvg1nlem.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
5755, 56fmptd 5322 . . . . . 6 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
5813imcld 9513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5915fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6059, 56fvmptg 5248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6111, 58, 60syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6220imcld 9513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
6322fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6463, 56fvmptg 5248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑛) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6519, 62, 64syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑛) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6661, 65oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑛))))
6713, 20imsubd 9536 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑛))))
6866, 67eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) = (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
6968fveq2d 5182 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) = (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))))
70 absimle 9654 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7130, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7269, 71eqbrtrd 3784 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7361, 58eqeltrd 2114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
7465, 62eqeltrd 2114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑛) ∈ ℝ)
7573, 74resubcld 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) ∈ ℝ)
7675recnd 7052 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) ∈ ℂ)
7776abscld 9751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ∈ ℝ)
78 lelttr 7104 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
7977, 38, 42, 78syl3anc 1135 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8072, 79mpand 405 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8180ralimdva 2387 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8281ralimdva 2387 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
839, 82mpd 13 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
8457, 8, 83climrecvg1n 9841 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ dom ⇝ )
85 climdm 9790 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
8684, 85sylib 127 . . . 4 (𝜑𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
87 ax-icn 6977 . . . . 5 i ∈ ℂ
8887a1i 9 . . . 4 (𝜑 → i ∈ ℂ)
89 climcvg1nlem.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥)))
9052mptex 5387 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥))) ∈ V
9189, 90eqeltri 2110 . . . . 5 𝐽 ∈ V
9291a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ V)
93 ax-resscn 6974 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
9493a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9557, 94fssd 5055 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℂ)
9695ffvelrnda 5302 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
9789a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥))))
98 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑘))
9998oveq2d 5528 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (i · (𝐻𝑥)) = (i · (𝐻𝑘)))
10099adantl 262 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (i · (𝐻𝑥)) = (i · (𝐻𝑘)))
101 simpr 103 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
10287a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
103102, 96mulcld 7045 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻𝑘)) ∈ ℂ)
10497, 100, 101, 103fvmptd 5253 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (i · (𝐻𝑘)))
1051, 2, 86, 88, 92, 96, 104climmulc2 9825 . . 3 (𝜑𝐽 ⇝ (i · ( ⇝ ‘𝐻)))
1067ffvelrnda 5302 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
107106recnd 7052 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
108104, 103eqeltrd 2114 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
1093ffvelrnda 5302 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
110109replimd 9515 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑘)))))
111109recld 9512 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
112101, 111, 17syl2anc 391 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
113109imcld 9513 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
114101, 113, 60syl2anc 391 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
115114oveq2d 5528 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻𝑘)) = (i · (ℑ‘(𝐹𝑘))))
116104, 115eqtrd 2072 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (i · (ℑ‘(𝐹𝑘))))
117112, 116oveq12d 5530 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + (𝐽𝑘)) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑘)))))
118110, 117eqtr4d 2075 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐺𝑘) + (𝐽𝑘)))
1191, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118climadd 9820 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))))
120 climrel 9775 . . 3 Rel ⇝
121120releldmi 4573 . 2 (𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
122119, 121syl 14 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2306  Vcvv 2557  wss 2917   class class class wbr 3764  cmpt 3818  dom cdm 4345  wf 4898  cfv 4902  (class class class)co 5512  cc 6885  cr 6886  1c1 6888  ici 6889   + caddc 6890   · cmul 6892   < clt 7058  cle 7059  cmin 7180   / cdiv 7649  cn 7912  cuz 8471  +crp 8581  cre 9414  cim 9415  abscabs 9569  cli 9773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000  ax-arch 7001  ax-caucvg 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-inn 7913  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-rp 8582  df-iseq 9186  df-iexp 9229  df-cj 9416  df-re 9417  df-im 9418  df-rsqrt 9570  df-abs 9571  df-clim 9774
This theorem is referenced by:  climcvg1n  9843
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