Theorem fmptd 5265

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptd.1	⊢ ((φ ∧ x ∈ A) → B ∈ 𝐶)
fmptd.2	⊢ 𝐹 = (x ∈ A ↦ B)

Assertion

Ref	Expression
fmptd	⊢ (φ → 𝐹:A⟶𝐶)

Distinct variable groups:   x,A   x,𝐶   φ,x

Allowed substitution hints:   B(x)   𝐹(x)

Proof of Theorem fmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptd.1	. . 3 ⊢ ((φ ∧ x ∈ A) → B ∈ 𝐶)
2	1	ralrimiva 2386	. 2 ⊢ (φ → ∀x ∈ A B ∈ 𝐶)
3		fmptd.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (x ∈ A ↦ B)
4	3	fmpt 5262	. 2 ⊢ (∀x ∈ A B ∈ 𝐶 ↔ 𝐹:A⟶𝐶)
5	2, 4	sylib 127	1 ⊢ (φ → 𝐹:A⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300   ↦ cmpt 3809  ⟶wf 4841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  fmptco  5273  fliftrel  5375  off  5666  caofinvl  5675