Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcvg1nlem Unicode version

Theorem climcvg1nlem 9868
 Description: Lemma for climcvg1n 9869. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of , show those converge, and use that to show that converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f
climcvg1n.c
climcvg1n.cau
climcvg1nlem.g
climcvg1nlem.h
climcvg1nlem.j
Assertion
Ref Expression
climcvg1nlem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem climcvg1nlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 8508 . . 3
2 1zzd 8272 . . 3
3 climcvg1n.f . . . . . . . 8
43ffvelrnda 5302 . . . . . . 7
54recld 9538 . . . . . 6
6 climcvg1nlem.g . . . . . 6
75, 6fmptd 5322 . . . . 5
8 climcvg1n.c . . . . 5
9 climcvg1n.cau . . . . . 6
10 eluznn 8538 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110adantll 445 . . . . . . . . . . . . . 14
123ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312, 11ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413recld 9538 . . . . . . . . . . . . . 14
15 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716, 6fvmptg 5248 . . . . . . . . . . . . . 14
1811, 14, 17syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13
19 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . 14
2012, 19ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120recld 9538 . . . . . . . . . . . . . 14
22 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423, 6fvmptg 5248 . . . . . . . . . . . . . 14
2519, 21, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13
2618, 25oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . 12
2713, 20resubd 9561 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . 11
2928fveq2d 5182 . . . . . . . . . 10
3013, 20subcld 7322 . . . . . . . . . . 11
31 absrele 9679 . . . . . . . . . . 11
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10
3329, 32eqbrtrd 3784 . . . . . . . . 9
3430recld 9538 . . . . . . . . . . . . 13
3534recnd 7054 . . . . . . . . . . . 12
3628, 35eqeltrd 2114 . . . . . . . . . . 11
3736abscld 9777 . . . . . . . . . 10
3830abscld 9777 . . . . . . . . . 10
398ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12
4019nnrpd 8621 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40rpdivcld 8640 . . . . . . . . . . 11
4241rpred 8622 . . . . . . . . . 10
43 lelttr 7106 . . . . . . . . . 10
4437, 38, 42, 43syl3anc 1135 . . . . . . . . 9
4533, 44mpand 405 . . . . . . . 8
4645ralimdva 2387 . . . . . . 7
4746ralimdva 2387 . . . . . 6
489, 47mpd 13 . . . . 5
497, 8, 48climrecvg1n 9867 . . . 4
50 climdm 9816 . . . 4
5149, 50sylib 127 . . 3
52 nnex 7920 . . . 4
53 fex 5388 . . . 4
543, 52, 53sylancl 392 . . 3
554imcld 9539 . . . . . . 7
56 climcvg1nlem.h . . . . . . 7
5755, 56fmptd 5322 . . . . . 6
5813imcld 9539 . . . . . . . . . . . . . . 15
5915fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059, 56fvmptg 5248 . . . . . . . . . . . . . . 15
6111, 58, 60syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14
6220imcld 9539 . . . . . . . . . . . . . . 15
6322fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463, 56fvmptg 5248 . . . . . . . . . . . . . . 15
6519, 62, 64syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14
6661, 65oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . . 13
6713, 20imsubd 9562 . . . . . . . . . . . . 13
6866, 67eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . . 12
6968fveq2d 5182 . . . . . . . . . . 11
70 absimle 9680 . . . . . . . . . . . 12
7130, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11
7269, 71eqbrtrd 3784 . . . . . . . . . 10
7361, 58eqeltrd 2114 . . . . . . . . . . . . . 14
7465, 62eqeltrd 2114 . . . . . . . . . . . . . 14
7573, 74resubcld 7379 . . . . . . . . . . . . 13
7675recnd 7054 . . . . . . . . . . . 12
7776abscld 9777 . . . . . . . . . . 11
78 lelttr 7106 . . . . . . . . . . 11
7977, 38, 42, 78syl3anc 1135 . . . . . . . . . 10
8072, 79mpand 405 . . . . . . . . 9
8180ralimdva 2387 . . . . . . . 8
8281ralimdva 2387 . . . . . . 7
839, 82mpd 13 . . . . . 6
8457, 8, 83climrecvg1n 9867 . . . . 5
85 climdm 9816 . . . . 5
8684, 85sylib 127 . . . 4
87 ax-icn 6979 . . . . 5
8887a1i 9 . . . 4
89 climcvg1nlem.j . . . . . 6
9052mptex 5387 . . . . . 6
9189, 90eqeltri 2110 . . . . 5
9291a1i 9 . . . 4
93 ax-resscn 6976 . . . . . . 7
9493a1i 9 . . . . . 6
9557, 94fssd 5055 . . . . 5
9695ffvelrnda 5302 . . . 4
9789a1i 9 . . . . 5
98 fveq2 5178 . . . . . . 7
9998oveq2d 5528 . . . . . 6
10099adantl 262 . . . . 5
101 simpr 103 . . . . 5
10287a1i 9 . . . . . 6
103102, 96mulcld 7047 . . . . 5
10497, 100, 101, 103fvmptd 5253 . . . 4
1051, 2, 86, 88, 92, 96, 104climmulc2 9851 . . 3
1067ffvelrnda 5302 . . . 4
107106recnd 7054 . . 3
108104, 103eqeltrd 2114 . . 3
1093ffvelrnda 5302 . . . . 5
110109replimd 9541 . . . 4
111109recld 9538 . . . . . 6
112101, 111, 17syl2anc 391 . . . . 5
113109imcld 9539 . . . . . . . 8
114101, 113, 60syl2anc 391 . . . . . . 7
115114oveq2d 5528 . . . . . 6
116104, 115eqtrd 2072 . . . . 5
117112, 116oveq12d 5530 . . . 4
118110, 117eqtr4d 2075 . . 3
1191, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118climadd 9846 . 2
120 climrel 9801 . . 3
121120releldmi 4573 . 2
122119, 121syl 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1243   wcel 1393  wral 2306  cvv 2557   wss 2917   class class class wbr 3764   cmpt 3818   cdm 4345  wf 4898  cfv 4902  (class class class)co 5512  cc 6887  cr 6888  c1 6890  ci 6891   caddc 6892   cmul 6894   clt 7060   cle 7061   cmin 7182   cdiv 7651  cn 7914  cuz 8473  crp 8583  cre 9440  cim 9441  cabs 9595   cli 9799 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597  df-clim 9800 This theorem is referenced by:  climcvg1n  9869
 Copyright terms: Public domain W3C validator