ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climrecvg1n GIF version

Theorem climrecvg1n 9840
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
climrecvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climrecvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
climrecvg1n (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climrecvg1n
Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecvg1n.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
2 climrecvg1n.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 climrecvg1n.cau . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
43r19.21bi 2407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
54r19.21bi 2407 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
61ad2antrr 457 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7 eluznn 8536 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87adantll 445 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
96, 8ffvelrnd 5303 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
10 simplr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
116, 10ffvelrnd 5303 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
122ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1310nnrpd 8619 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
1412, 13rpdivcld 8638 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1514rpred 8620 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
169, 11, 15absdifltd 9748 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) ↔ (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
175, 16mpbid 135 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
1811, 15, 9ltsubaddd 7530 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛))))
1918anbi1d 438 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
2017, 19mpbid 135 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
2120ralrimiva 2392 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
2221ralrimiva 2392 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
231, 2, 22cvg1n 9559 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
241adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2524ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
26 eluznn 8536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
2726adantll 445 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
2825, 27ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
29 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3029ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31 simpllr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3231rpred 8620 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ)
3328, 30, 32absdifltd 9748 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
3430, 32, 28ltsubaddd 7530 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
3534anbi1d 438 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ (𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
3633, 35bitrd 177 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
37 ancom 253 . . . . . . . 8 ((𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
3836, 37syl6bb 185 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
3938ralbidva 2322 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
4039rexbidva 2323 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
4140ralbidva 2322 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
42 nnuz 8506 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
43 1zzd 8270 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
44 nnex 7918 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
4544a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ℕ ∈ V)
46 reex 7013 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
4746a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
48 fex2 5059 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ ℕ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4924, 45, 47, 48syl3anc 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ V)
50 eqidd 2041 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
5129recnd 7052 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5224ffvelrnda 5302 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
5352recnd 7052 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
5442, 43, 49, 50, 51, 53clim2c 9778 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒))
55 climrel 9774 . . . . . 6 Rel ⇝
5655releldmi 4573 . . . . 5 (𝐹𝑦𝐹 ∈ dom ⇝ )
5754, 56syl6bir 153 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5841, 57sylbird 159 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5958impr 361 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6023, 59rexlimddv 2437 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wcel 1393  wral 2306  wrex 2307  Vcvv 2557   class class class wbr 3764  dom cdm 4345  wf 4898  cfv 4902  (class class class)co 5512  cr 6886  1c1 6888   + caddc 6890   < clt 7058  cmin 7180   / cdiv 7649  cn 7912  cuz 8471  +crp 8581  abscabs 9569  cli 9772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000  ax-arch 7001  ax-caucvg 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-inn 7913  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-rp 8582  df-iseq 9186  df-iexp 9229  df-cj 9416  df-re 9417  df-im 9418  df-rsqrt 9570  df-abs 9571  df-clim 9773
This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  9841
  Copyright terms: Public domain W3C validator