Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnzlemex GIF version

Theorem qbtwnzlemex 9105
 Description: Lemma for qbtwnz 9106. Existence of the integer. The proof starts by finding two integers which are less than and greater than the given rational number. Then this range can be shrunk by choosing an integer in between the endpoints of the range and then deciding which half of the range to keep based on rational number trichotomy, and iterating until the range consists of two consecutive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnzlemex (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qbtwnzlemex
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qre 8560 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 btwnz 8357 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑚 < 𝐴 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑛))
31, 2syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑚 < 𝐴 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑛))
4 reeanv 2479 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛) ↔ (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑚 < 𝐴 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑛))
53, 4sylibr 137 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛))
6 simpll 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℚ)
7 simplrl 487 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
87zred 8360 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
91ad2antrr 457 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 simplrr 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
1110zred 8360 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
12 simprl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 < 𝐴)
13 simprr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝐴 < 𝑛)
148, 9, 11, 12, 13lttrd 7140 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 < 𝑛)
15 znnsub 8296 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑚) ∈ ℕ))
1615ad2antlr 458 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑚) ∈ ℕ))
1714, 16mpbid 135 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑛𝑚) ∈ ℕ)
188, 9, 12ltled 7135 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚𝐴)
197zcnd 8361 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℂ)
2010zcnd 8361 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
2119, 20pncan3d 7325 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑚 + (𝑛𝑚)) = 𝑛)
2213, 21breqtrrd 3790 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝐴 < (𝑚 + (𝑛𝑚)))
23 breq1 3767 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦𝐴𝑚𝐴))
24 oveq1 5519 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦 + (𝑛𝑚)) = (𝑚 + (𝑛𝑚)))
2524breq2d 3776 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑦 + (𝑛𝑚)) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑛𝑚))))
2623, 25anbi12d 442 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑚 → ((𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + (𝑛𝑚))) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑛𝑚)))))
2726rspcev 2656 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑛𝑚)))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + (𝑛𝑚))))
287, 18, 22, 27syl12anc 1133 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + (𝑛𝑚))))
29 qbtwnzlemshrink 9104 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑛𝑚) ∈ ℕ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + (𝑛𝑚)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
306, 17, 28, 29syl3anc 1135 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
3130ex 108 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3231rexlimdvva 2440 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
335, 32mpd 13 1 (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182  ℕcn 7914  ℤcz 8245  ℚcq 8554 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-q 8555  df-rp 8584 This theorem is referenced by:  qbtwnz  9106
 Copyright terms: Public domain W3C validator